Номер 466, страница 140 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 26. Тригонометрические тождества - номер 466, страница 140.

Условие.

466 Упростить выражение:

1) $ \cos \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha - 2 \sin \alpha; $

2) $ \cos \alpha - \sin \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha; $

3) $ \frac{\sin^2 \alpha}{1 + \cos \alpha}; $

4) $ \frac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin \alpha}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $cos \alpha \cdot tg \alpha - 2 sin \alpha$ воспользуемся определением тангенса: $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.
Подставим это определение в исходное выражение:
$cos \alpha \cdot \frac{sin \alpha}{cos \alpha} - 2 sin \alpha$
Сократим $cos \alpha$ в первом слагаемом (при условии, что $cos \alpha \neq 0$):
$sin \alpha - 2 sin \alpha$
Приведем подобные слагаемые:
$-sin \alpha$
Ответ: $-sin \alpha$

2) Для упрощения выражения $cos \alpha - sin \alpha \cdot ctg \alpha$ воспользуемся определением котангенса: $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$.
Подставим это определение в исходное выражение:
$cos \alpha - sin \alpha \cdot \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$
Сократим $sin \alpha$ во втором слагаемом (при условии, что $sin \alpha \neq 0$):
$cos \alpha - cos \alpha$
Результат вычитания равен нулю:
$0$
Ответ: $0$

3) Для упрощения дроби $\frac{sin^2 \alpha}{1 + cos \alpha}$ используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
Из этого тождества выразим $sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha$.
Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{1 - cos^2 \alpha}{1 + cos \alpha}$
Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(1 - cos \alpha)(1 + cos \alpha)}{1 + cos \alpha}$
Сократим дробь на общий множитель $(1 + cos \alpha)$ (при условии, что $1 + cos \alpha \neq 0$):
$1 - cos \alpha$
Ответ: $1 - cos \alpha$

4) Для упрощения дроби $\frac{cos^2 \alpha}{1 - sin \alpha}$ используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
Из этого тождества выразим $cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha$.
Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{1 - sin^2 \alpha}{1 - sin \alpha}$
Числитель является разностью квадратов, разложим его на множители:
$\frac{(1 - sin \alpha)(1 + sin \alpha)}{1 - sin \alpha}$
Сократим дробь на общий множитель $(1 - sin \alpha)$ (при условии, что $1 - sin \alpha \neq 0$):
$1 + sin \alpha$
Ответ: $1 + sin \alpha$