Номер 468, страница 141 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 26. Тригонометрические тождества - номер 468, страница 141.

Условие.

468 Доказать тождество:

1) $(1 - \sin^2 \alpha)(1 + \tan^2 \alpha) = 1;$

2) $\sin^2 \alpha (1 + \cot^2 \alpha) - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для доказательства тождества $(1 - \sin^2 \alpha)(1 + \operatorname{tg}^2 \alpha) = 1$ преобразуем его левую часть. Для этого воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Также из основного тождества выводится формула $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

Теперь подставим эти выражения в левую часть нашего равенства:

$(1 - \sin^2 \alpha)(1 + \operatorname{tg}^2 \alpha) = \cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

При условии, что $\cos \alpha \neq 0$, мы можем сократить $\cos^2 \alpha$ в числителе и знаменателе:

$\cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1$.

В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна правой ($1=1$).

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества $\sin^2 \alpha (1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha) - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$ преобразуем его левую часть.

Используем тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:

$\sin^2 \alpha (1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha) - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \cos^2 \alpha$.

При условии, что $\sin \alpha \neq 0$, мы можем сократить $\sin^2 \alpha$ в первом слагаемом:

$1 - \cos^2 \alpha$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.

Таким образом, левая часть равенства $\sin^2 \alpha (1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha) - \cos^2 \alpha$ равна $\sin^2 \alpha$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.