Номер 469, страница 141 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 26. Тригонометрические тождества - номер 469, страница 141.

Условие.

469 Упростить выражение:

1) $(1 + \text{tg}^2 \alpha) \cos^2 \alpha - 1;$

2) $1 - \sin^2 \alpha (1 + \text{ctg}^2 \alpha);$

3) $1 + \text{tg}^2 \alpha + \frac{1}{\sin^2 \alpha};$

4) $\frac{1 + \text{tg}^2 \alpha}{1 + \text{ctg}^2 \alpha}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $(1 + \text{tg}^2 \alpha) \cos^2 \alpha - 1$ воспользуемся одним из основных тригонометрических тождеств, которое связывает тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

Подставим это тождество в исходное выражение:

$(1 + \text{tg}^2 \alpha) \cos^2 \alpha - 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha - 1$

Теперь мы можем сократить $\cos^2 \alpha$ в числителе и знаменателе:

$1 - 1 = 0$

Ответ: $0$

2) Для упрощения выражения $1 - \sin^2 \alpha (1 + \text{ctg}^2 \alpha)$ используем тригонометрическое тождество, связывающее котангенс и синус: $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

Подставим это тождество в исходное выражение:

$1 - \sin^2 \alpha (1 + \text{ctg}^2 \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Сократим $\sin^2 \alpha$:

$1 - 1 = 0$

Ответ: $0$

3) Для упрощения выражения $1 + \text{tg}^2 \alpha + \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ заменим сумму $1 + \text{tg}^2 \alpha$ на эквивалентное ей выражение $\frac{1}{\cos^2 \alpha}$:

$1 + \text{tg}^2 \alpha + \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} + \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Чтобы сложить две дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен $\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha$:

$\frac{1 \cdot \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha} + \frac{1 \cdot \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}$

В числителе мы получили основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Подставим это значение:

$\frac{1}{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}$

Ответ: $\frac{1}{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}$

4) Для упрощения дроби $\frac{1 + \text{tg}^2 \alpha}{1 + \text{ctg}^2 \alpha}$ воспользуемся тождествами для числителя и знаменателя соответственно:

$1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

$1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Подставим эти выражения в нашу дробь:

$\frac{1 + \text{tg}^2 \alpha}{1 + \text{ctg}^2 \alpha} = \frac{\frac{1}{\cos^2 \alpha}}{\frac{1}{\sin^2 \alpha}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{1}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{1} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

По определению тангенса $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, следовательно, полученное выражение равно $\text{tg}^2 \alpha$.

Ответ: $\text{tg}^2 \alpha$