Номер 465, страница 140 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 26. Тригонометрические тождества - номер 465, страница 140.

Условие.

465 Доказать тождество:

1) $(1 - \cos \alpha) (1 + \cos \alpha) = \sin^2 \alpha;$

2) $(1 - \sin \alpha) (1 + \sin \alpha) = \cos^2 \alpha;$

3) $\frac{\sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = \text{tg}^2 \alpha;$

4) $\frac{\cos^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha;$

5) $\frac{1}{1 + \text{tg}^2 \alpha} + \sin^2 \alpha = 1;$

6) $\frac{1}{1 + \text{ctg}^2 \alpha} + \cos^2 \alpha = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Преобразуем левую часть тождества, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1^2 - \cos^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$.

Таким образом, левая часть равна $\sin^2 \alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть, применяя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = 1^2 - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Следовательно, левая часть равна $\cos^2 \alpha$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

3)

Преобразуем левую часть тождества. Знаменатель дроби можно упростить, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Из этого тождества получаем $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Подставим это выражение в знаменатель: $\frac{\sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

По определению тангенса $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, поэтому $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 = \operatorname{tg}^2 \alpha$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

4)

Преобразуем левую часть. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ для преобразования знаменателя.

Из тождества следует, что $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.

Подставим в левую часть: $\frac{\cos^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$.

По определению котангенса $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, поэтому $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 = \operatorname{ctg}^2 \alpha$.

Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

5)

Преобразуем левую часть тождества. Начнем с выражения в знаменателе первого слагаемого. Используя определение тангенса $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, получаем:

$1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, то $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

Подставим это в исходное выражение: $\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} + \sin^2 \alpha = \frac{1}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.

Левая часть равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.

6)

Преобразуем левую часть тождества. Рассмотрим знаменатель первого слагаемого. Используя определение котангенса $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, получаем:

$1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$.

Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, то $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

Подставим это в левую часть тождества: $\frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha} + \cos^2 \alpha = \frac{1}{\frac{1}{\sin^2 \alpha}} + \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$.

По основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Левая часть равна 1. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.