Номер 467, страница 141 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 26. Тригонометрические тождества - номер 467, страница 141.

Условие.

467 Упростить выражение и найти его значение:

1) $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{1 - \cos^2 \alpha}$ при $\alpha = \frac{\pi}{4}$;

2) $\cos^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha + \sin^2 \alpha$ при $\alpha = \frac{\pi}{6}$;

3) $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1$ при $\alpha = \frac{\pi}{3}$;

4) $\cos^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha \operatorname{ctg}^2 \alpha + \sin^2 \alpha$ при $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{1 - \cos^2 \alpha}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Из него следуют два равенства: $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$ и $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = -(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha})^2 = -\text{ctg}^2 \alpha$.

Теперь найдем значение этого выражения при $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

$\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Следовательно, $-\text{ctg}^2(\frac{\pi}{4}) = -(1)^2 = -1$.

Ответ: -1

2) Упростим выражение $\cos^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha + \sin^2 \alpha$.

Сгруппируем первое и третье слагаемые: $(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + \text{ctg}^2 \alpha$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем упрощенное выражение:

$1 + \text{ctg}^2 \alpha$.

Теперь найдем его значение при $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

$\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\cos(\pi/6)}{\sin(\pi/6)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

Следовательно, $1 + \text{ctg}^2(\frac{\pi}{6}) = 1 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

Ответ: 4

3) Упростим выражение $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1$.

Известно тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

Подставим это тождество в исходное выражение:

$(1 + \text{tg}^2 \alpha) - 1 = \text{tg}^2 \alpha$.

Теперь найдем значение этого выражения при $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

$\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sin(\pi/3)}{\cos(\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

Следовательно, $\text{tg}^2(\frac{\pi}{3}) = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Ответ: 3

4) Упростим выражение $\cos^2 \alpha + \text{tg}^2 \alpha \cdot \text{ctg}^2 \alpha + \sin^2 \alpha$.

Используем тождество $\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1$. Тогда $\text{tg}^2 \alpha \cdot \text{ctg}^2 \alpha = (\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha)^2 = 1^2 = 1$.

Выражение принимает вид: $\cos^2 \alpha + 1 + \sin^2 \alpha$.

Сгруппируем слагаемые: $(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + 1$.

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:

$1 + 1 = 2$.

Значение этого выражения постоянно и не зависит от угла $\alpha$. Таким образом, при $\alpha = \frac{\pi}{3}$ значение выражения равно 2.

Ответ: 2