Номер 474, страница 141 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 26. Тригонометрические тождества - номер 474, страница 141.

Условие.

474 Решить уравнение:

1) $2 \sin x + \sin^2 x + \cos^2 x = 1;$

2) $2 \sin^2 x + 3 \cos^2 x - 2 = 0;$

3) $3 \cos^2 x - 2 \sin x = 3 - 3 \sin^2 x;$

4) $\cos^2 x - \sin^2 x = 2 \sin x - 1 - 2 \sin^2 x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $2 \sin x + \sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Подставим его в уравнение:

$2 \sin x + 1 = 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$2 \sin x = 0$

$\sin x = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения:

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2 \sin^2 x + 3 \cos^2 x - 2 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos^2 x - 2 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2 - 2 \cos^2 x + 3 \cos^2 x - 2 = 0$

$\cos^2 x = 0$

Отсюда следует, что $\cos x = 0$.

Решениями этого уравнения являются:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $3 \cos^2 x - 2 \sin x = 3 - 3 \sin^2 x$

Перенесем все члены с тригонометрическими функциями в левую часть уравнения:

$3 \cos^2 x + 3 \sin^2 x - 2 \sin x - 3 = 0$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3(\cos^2 x + \sin^2 x) - 2 \sin x - 3 = 0$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$3(1) - 2 \sin x - 3 = 0$

$3 - 2 \sin x - 3 = 0$

$-2 \sin x = 0$

$\sin x = 0$

Решениями этого уравнения являются:

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\cos^2 x - \sin^2 x = 2 \sin x - 1 - 2 \sin^2 x$

Чтобы привести уравнение к одной функции, используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Подставим это выражение в уравнение:

$(1 - \sin^2 x) - \sin^2 x = 2 \sin x - 1 - 2 \sin^2 x$

Упростим левую часть:

$1 - 2 \sin^2 x = 2 \sin x - 1 - 2 \sin^2 x$

Прибавим $2 \sin^2 x$ к обеим частям уравнения, чтобы сократить эти члены:

$1 = 2 \sin x - 1$

Перенесем -1 в левую часть:

$1 + 1 = 2 \sin x$

$2 = 2 \sin x$

Разделим обе части на 2:

$\sin x = 1$

Решениями этого уравнения являются:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.