Номер 481, страница 146 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 28. Формулы сложения - номер 481, страница 146.

Условие.

481 С помощью формул сложения вычислить:

1) $ \cos 135^\circ; $

2) $ \cos 120^\circ; $

3) $ \cos 150^\circ; $

4) $ \cos 240^\circ. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сложения для косинуса. Основные формулы, которые нам понадобятся:

• Косинус суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$
• Косинус разности: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$

Мы представим заданные углы в виде суммы или разности стандартных углов (таких как 30°, 45°, 60°, 90°, 180°), для которых значения синуса и косинуса известны.

1) cos 135°

Представим угол 135° как сумму двух стандартных углов: $135° = 90° + 45°$.
Теперь применим формулу косинуса суммы:
$cos(135°) = cos(90° + 45°) = cos(90°)cos(45°) - sin(90°)sin(45°)$.
Нам известны значения тригонометрических функций для углов 90° и 45°:
$cos(90°) = 0$, $sin(90°) = 1$, $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставляем эти значения в формулу и вычисляем:
$cos(135°) = 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) cos 120°

Представим угол 120° как сумму $120° = 90° + 30°$.
Применим формулу косинуса суммы:
$cos(120°) = cos(90° + 30°) = cos(90°)cos(30°) - sin(90°)sin(30°)$.
Известные значения: $cos(90°) = 0$, $sin(90°) = 1$, $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $sin(30°) = \frac{1}{2}$.
Подставляем и вычисляем:
$cos(120°) = 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

3) cos 150°

Представим угол 150° как сумму $150° = 90° + 60°$.
Применим формулу косинуса суммы:
$cos(150°) = cos(90° + 60°) = cos(90°)cos(60°) - sin(90°)sin(60°)$.
Известные значения: $cos(90°) = 0$, $sin(90°) = 1$, $cos(60°) = \frac{1}{2}$, $sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем и вычисляем:
$cos(150°) = 0 \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

4) cos 240°

Представим угол 240° как сумму $240° = 180° + 60°$.
Применим формулу косинуса суммы:
$cos(240°) = cos(180° + 60°) = cos(180°)cos(60°) - sin(180°)sin(60°)$.
Известные значения: $cos(180°) = -1$, $sin(180°) = 0$, $cos(60°) = \frac{1}{2}$, $sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем и вычисляем:
$cos(240°) = (-1) \cdot \frac{1}{2} - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} - 0 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$