Номер 482, страница 146 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 28. Формулы сложения - номер 482, страница 146.

Условие.

482 Вычислить, не пользуясь таблицами:

1) $\cos 57^\circ 30' \cos 27^\circ 30' + \sin 57^\circ 30' \sin 27^\circ 30';$

2) $\cos 19^\circ 30' \cos 25^\circ 30' - \sin 19^\circ 30' \sin 25^\circ 30';$

3) $\cos \frac{7\pi}{9} \cos \frac{11\pi}{9} - \sin \frac{7\pi}{9} \sin \frac{11\pi}{9};$

4) $\cos \frac{8\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} + \sin \frac{8\pi}{7} \sin \frac{\pi}{7}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Данное выражение $\cos 57^\circ30' \cos 27^\circ30' + \sin 57^\circ30' \sin 27^\circ30'$ соответствует формуле косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$. В нашем случае $\alpha = 57^\circ30'$ и $\beta = 27^\circ30'$. Применим формулу, чтобы упростить выражение:
$\cos(57^\circ30' - 27^\circ30')$.
Вычислим разность углов: $57^\circ30' - 27^\circ30' = (57-27)^\circ(30-30)' = 30^\circ$.
Следовательно, искомое значение равно $\cos(30^\circ)$. Это стандартное тригонометрическое значение.
$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

2) Данное выражение $\cos 19^\circ30' \cos 25^\circ30' - \sin 19^\circ30' \sin 25^\circ30'$ соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$. В данном случае $\alpha = 19^\circ30'$ и $\beta = 25^\circ30'$. Применим формулу:
$\cos(19^\circ30' + 25^\circ30')$.
Вычислим сумму углов: $19^\circ30' + 25^\circ30' = (19+25)^\circ(30+30)' = 44^\circ60'$.
Так как $60$ минут ($60'$) равны $1$ градусу ($1^\circ$), сумма углов составляет $44^\circ + 1^\circ = 45^\circ$.
Таким образом, выражение равно $\cos(45^\circ)$.
$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

3) Данное выражение $\cos \frac{7\pi}{9} \cos \frac{11\pi}{9} - \sin \frac{7\pi}{9} \sin \frac{11\pi}{9}$ соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$. Здесь $\alpha = \frac{7\pi}{9}$ и $\beta = \frac{11\pi}{9}$. Применим формулу:
$\cos\left(\frac{7\pi}{9} + \frac{11\pi}{9}\right)$.
Вычислим сумму углов: $\frac{7\pi}{9} + \frac{11\pi}{9} = \frac{18\pi}{9} = 2\pi$.
Следовательно, выражение равно $\cos(2\pi)$.
$\cos(2\pi) = 1$.

Ответ: $1$

4) Данное выражение $\cos \frac{8\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} + \sin \frac{8\pi}{7} \sin \frac{\pi}{7}$ соответствует формуле косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$. В этом случае $\alpha = \frac{8\pi}{7}$ и $\beta = \frac{\pi}{7}$. Применим формулу:
$\cos\left(\frac{8\pi}{7} - \frac{\pi}{7}\right)$.
Вычислим разность углов: $\frac{8\pi}{7} - \frac{\pi}{7} = \frac{7\pi}{7} = \pi$.
Следовательно, выражение равно $\cos(\pi)$.
$\cos(\pi) = -1$.

Ответ: $-1$