Номер 486, страница 147 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 28. Формулы сложения - номер 486, страница 147.

Условие.

486 Вычислить:

1) $ \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) $, если $ \cos \alpha = -\frac{3}{5} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $;

2) $ \sin \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) $, если $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления $ \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) $ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:

$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $

В нашем случае $ \beta = \frac{\pi}{6} $. Таким образом, формула принимает вид:

$ \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = \sin\alpha \cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha \sin\frac{\pi}{6} $

Известны значения синуса и косинуса для угла $ \frac{\pi}{6} $:

$ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

По условию задачи дано $ \cos\alpha = -\frac{3}{5} $. Нам необходимо найти $ \sin\alpha $. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $

Отсюда $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $.

По условию, угол $ \alpha $ находится в интервале $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $, что соответствует III четверти. В III четверти синус отрицателен, поэтому $ \sin\alpha = -\frac{4}{5} $.

Теперь подставим все известные значения в формулу синуса суммы:

$ \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = (-\frac{4}{5}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{4\sqrt{3}}{10} - \frac{3}{10} = -\frac{3 + 4\sqrt{3}}{10} $

Ответ: $ -\frac{3 + 4\sqrt{3}}{10} $

2) Для вычисления $ \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) $ воспользуемся формулой синуса разности двух углов:

$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $

В нашем случае формула будет выглядеть так (меняем местами $ \alpha $ и $ \beta $):

$ \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin\frac{\pi}{4} \cos\alpha - \cos\frac{\pi}{4} \sin\alpha $

Известны значения синуса и косинуса для угла $ \frac{\pi}{4} $:

$ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

По условию задачи дано $ \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3} $. Нам необходимо найти $ \cos\alpha $. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} $

Отсюда $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{7}{9}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{3} $.

По условию, угол $ \alpha $ находится в интервале $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, что соответствует II четверти. Во II четверти косинус отрицателен, поэтому $ \cos\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{3} $.

Теперь подставим все известные значения в формулу синуса разности:

$ \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{7}}{3}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = -\frac{\sqrt{14}}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{2 + \sqrt{14}}{6} $

Ответ: $ -\frac{2 + \sqrt{14}}{6} $