Номер 493, страница 148 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 28. Формулы сложения - номер 493, страница 148.

Условие.

493 Вычислить:

1) $\frac{\operatorname{tg} 29^\circ + \operatorname{tg} 31^\circ}{1 - \operatorname{tg} 29^\circ \operatorname{tg} 31^\circ}$;

2) $\frac{\operatorname{tg} \frac{7\pi}{16} - \operatorname{tg} \frac{3\pi}{16}}{1 + \operatorname{tg} \frac{7\pi}{16} \operatorname{tg} \frac{3\pi}{16}}$;

3) $\frac{1 + \operatorname{tg} 10^\circ \operatorname{tg} 55^\circ}{\operatorname{tg} 55^\circ - \operatorname{tg} 10^\circ}$;

4) $\frac{1 - \operatorname{tg} 13^\circ \operatorname{tg} 17^\circ}{\operatorname{tg} 17^\circ + \operatorname{tg} 13^\circ}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:
$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $
В нашем случае $\alpha = 29^\circ$ и $\beta = 31^\circ$. Подставим эти значения в формулу:
$ \frac{\tg 29^\circ + \tg 31^\circ}{1 - \tg 29^\circ \tg 31^\circ} = \tg(29^\circ + 31^\circ) = \tg(60^\circ) $
Значение тангенса 60 градусов является табличным:
$ \tg(60^\circ) = \sqrt{3} $
Ответ: $ \sqrt{3} $

2) Для вычисления данного выражения применим формулу тангенса разности двух углов:
$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta} $
В данном выражении $\alpha = \frac{7\pi}{16}$ и $\beta = \frac{3\pi}{16}$. Подставим их в формулу:
$ \frac{\tg \frac{7\pi}{16} - \tg \frac{3\pi}{16}}{1 + \tg \frac{7\pi}{16} \tg \frac{3\pi}{16}} = \tg(\frac{7\pi}{16} - \frac{3\pi}{16}) = \tg(\frac{4\pi}{16}) = \tg(\frac{\pi}{4}) $
Значение тангенса $\frac{\pi}{4}$ (или 45 градусов) равно 1.
$ \tg(\frac{\pi}{4}) = 1 $
Ответ: $ 1 $

3) Данное выражение является обратной дробью к тангенсу разности, что соответствует формуле котангенса разности: $ \cot(\alpha - \beta) = \frac{1}{\tg(\alpha - \beta)} = \frac{1 + \tg \alpha \tg \beta}{\tg \alpha - \tg \beta} $.
В нашем случае $\alpha = 55^\circ$ и $\beta = 10^\circ$.
Следовательно, выражение равно:
$ \cot(55^\circ - 10^\circ) = \cot(45^\circ) $
Так как $\cot(45^\circ) = 1$, получаем:
$ \frac{1 + \tg 10^\circ \tg 55^\circ}{\tg 55^\circ - \tg 10^\circ} = 1 $
Ответ: $ 1 $

4) Данное выражение является обратной дробью к тангенсу суммы, что соответствует формуле котангенса суммы: $ \cot(\alpha + \beta) = \frac{1}{\tg(\alpha + \beta)} = \frac{1 - \tg \alpha \tg \beta}{\tg \alpha + \tg \beta} $.
В нашем случае $\alpha = 17^\circ$ и $\beta = 13^\circ$.
Следовательно, выражение равно:
$ \cot(17^\circ + 13^\circ) = \cot(30^\circ) $
Значение $\cot(30^\circ)$ является табличным и равно $\sqrt{3}$.
$ \frac{1 - \tg 13^\circ \tg 17^\circ}{\tg 17^\circ + \tg 13^\circ} = \sqrt{3} $
Ответ: $ \sqrt{3} $