Номер 496, страница 148 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 28. Формулы сложения - номер 496, страница 148.

Условие.

496 Упростить выражение:

1) $ \sin \alpha \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cos \alpha; $

2) $ \sin 5\beta \cos 3\beta - \sin 3\beta \cos 5\beta. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное выражение: $\sin \alpha \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cos \alpha$.
Это выражение соответствует известной тригонометрической формуле синуса суммы двух углов:
$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.
В нашем случае, если мы примем $x = \alpha$ и $y = 2\alpha$, то исходное выражение можно записать как:
$\sin \alpha \cos 2\alpha + \cos \alpha \sin 2\alpha = \sin(\alpha + 2\alpha)$.
Сложив углы в аргументе синуса, получим:
$\sin(\alpha + 2\alpha) = \sin(3\alpha)$.
Таким образом, выражение упрощается до $\sin(3\alpha)$.
Ответ: $\sin(3\alpha)$.

2) Исходное выражение: $\sin 5\beta \cos 3\beta - \sin 3\beta \cos 5\beta$.
Данное выражение соответствует тригонометрической формуле синуса разности двух углов:
$\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$.
В нашем случае, если мы примем $x = 5\beta$ и $y = 3\beta$, то исходное выражение можно записать как:
$\sin(5\beta) \cos(3\beta) - \cos(5\beta) \sin(3\beta) = \sin(5\beta - 3\beta)$.
Вычислив разность углов в аргументе синуса, получим:
$\sin(5\beta - 3\beta) = \sin(2\beta)$.
Таким образом, выражение упрощается до $\sin(2\beta)$.
Ответ: $\sin(2\beta)$.