Номер 500, страница 150 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла - номер 500, страница 150.

Условие.

Вычислить, не используя калькулятор (500–502).

500 1) $2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ;$

2) $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ;$

3) $\frac{2 \operatorname{tg} 15^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ};$

4) $(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления выражения $2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

В данном случае $\alpha = 15^\circ$. Подставим это значение в формулу:

$2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Значение синуса 30 градусов является табличным: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Для вычисления выражения $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

Здесь $\alpha = 15^\circ$. Применим формулу:

$\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos(30^\circ)$.

Значение косинуса 30 градусов является табличным: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Выражение $\frac{2 \tan 15^\circ}{1 - \tan^2 15^\circ}$ соответствует формуле тангенса двойного угла: $\tan(2\alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$.

В этом примере $\alpha = 15^\circ$. Подставим значение в формулу:

$\frac{2 \tan 15^\circ}{1 - \tan^2 15^\circ} = \tan(2 \cdot 15^\circ) = \tan(30^\circ)$.

Значение тангенса 30 градусов является табличным: $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4) Для вычисления выражения $(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2$ раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2 = \cos^2 75^\circ - 2 \cos 75^\circ \sin 75^\circ + \sin^2 75^\circ$.

Сгруппируем слагаемые: $(\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ) - 2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ$.

Выражение в скобках, согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, равно 1.

Выражение $2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ$ является формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, где $\alpha = 75^\circ$.

Следовательно, $2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ = \sin(2 \cdot 75^\circ) = \sin(150^\circ)$.

Используем формулу приведения: $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$1 - \sin(150^\circ) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.