Номер 494, страница 148 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 28. Формулы сложения - номер 494, страница 148.

Условие.

494 Вычислить:

1) $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) $, если $ \operatorname{tg}\alpha = -\frac{3}{4} $ и $ \operatorname{tg}\beta = 2,4 $;

2) $ \operatorname{ctg}(\alpha - \beta) $, если $ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{4}{3} $ и $ \operatorname{ctg}\beta = -1 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления $tg(\alpha + \beta)$ воспользуемся формулой тангенса суммы: $$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \cdot tg \beta}$$ По условию задачи, $tg \alpha = -\frac{3}{4}$ и $tg \beta = 2,4$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.
Подставим известные значения в формулу: $$tg(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{3}{4} + \frac{12}{5}}{1 - (-\frac{3}{4}) \cdot \frac{12}{5}}$$ Вычислим значение числителя: $$-\frac{3}{4} + \frac{12}{5} = \frac{-3 \cdot 5 + 12 \cdot 4}{20} = \frac{-15 + 48}{20} = \frac{33}{20}$$ Вычислим значение знаменателя: $$1 - (-\frac{3}{4}) \cdot \frac{12}{5} = 1 - (-\frac{36}{20}) = 1 + \frac{36}{20} = 1 + \frac{9}{5} = \frac{5}{5} + \frac{9}{5} = \frac{14}{5}$$ Теперь разделим числитель на знаменатель: $$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{33}{20}}{\frac{14}{5}} = \frac{33}{20} \cdot \frac{5}{14} = \frac{33 \cdot 5}{20 \cdot 14} = \frac{33}{4 \cdot 14} = \frac{33}{56}$$ Ответ: $\frac{33}{56}$.

2) Для вычисления $ctg(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой котангенса разности: $$ctg(\alpha - \beta) = \frac{ctg \alpha \cdot ctg \beta + 1}{ctg \beta - ctg \alpha}$$ По условию задачи, $ctg \alpha = \frac{4}{3}$ и $ctg \beta = -1$.
Подставим известные значения в формулу: $$ctg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{4}{3} \cdot (-1) + 1}{-1 - \frac{4}{3}}$$ Вычислим значение числителя: $$\frac{4}{3} \cdot (-1) + 1 = -\frac{4}{3} + 1 = -\frac{4}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}$$ Вычислим значение знаменателя: $$-1 - \frac{4}{3} = -\frac{3}{3} - \frac{4}{3} = \frac{-3 - 4}{3} = -\frac{7}{3}$$ Теперь разделим числитель на знаменатель: $$ctg(\alpha - \beta) = \frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{7}{3}} = (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{3}{7}) = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 7} = \frac{1}{7}$$ Ответ: $\frac{1}{7}$.