Номер 491, страница 147 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 28. Формулы сложения - номер 491, страница 147.

Условие.

491 Упростить выражение:

1) $\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)$;

2) $\cos \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \cos \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) + \frac{1}{2} \sin^2 \alpha$;

3) $\cos 3\alpha + \sin \alpha \sin 2\alpha$;

4) $\cos 2\alpha - \cos \alpha \cos 3\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)$.

Для этого воспользуемся формулами косинуса суммы и разности двух углов:

$cos(\alpha - \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$

$cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta) = (cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta) - (cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta)$

Раскроем скобки:

$cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta - cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$

Приведем подобные слагаемые:

$(cos \alpha cos \beta - cos \alpha cos \beta) + (sin \alpha sin \beta + sin \alpha sin \beta) = 2 sin \alpha sin \beta$

Ответ: $2 \sin \alpha \sin \beta$

2) Упростим выражение $cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) + \frac{1}{2}sin^2 \alpha$.

Сначала преобразуем произведение косинусов, используя формулу $cos A cos B = \frac{1}{2}(cos(A-B) + cos(A+B))$.

В нашем случае $A = \frac{\pi}{4} + \alpha$ и $B = \frac{\pi}{4} - \alpha$. Вычислим сумму и разность аргументов:

$A - B = \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 2\alpha$

$A + B = \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

Подставим значения в формулу произведения косинусов:

$cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1}{2}\left(cos(2\alpha) + cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$

Зная, что $cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$, получаем:

$\frac{1}{2}(cos(2\alpha) + 0) = \frac{1}{2}cos(2\alpha)$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{1}{2}cos(2\alpha) + \frac{1}{2}sin^2 \alpha$

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $cos(2\alpha) = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha$:

$\frac{1}{2}(cos^2 \alpha - sin^2 \alpha) + \frac{1}{2}sin^2 \alpha = \frac{1}{2}cos^2 \alpha - \frac{1}{2}sin^2 \alpha + \frac{1}{2}sin^2 \alpha = \frac{1}{2}cos^2 \alpha$

Ответ: $\frac{1}{2} \cos^2 \alpha$

3) Упростим выражение $cos 3\alpha + sin \alpha sin 2\alpha$.

Воспользуемся формулой косинуса суммы для $cos 3\alpha$, представив $3\alpha$ как $2\alpha + \alpha$:

$cos 3\alpha = cos(2\alpha + \alpha) = cos 2\alpha cos \alpha - sin 2\alpha sin \alpha$

Подставим это разложение в исходное выражение:

$(cos 2\alpha cos \alpha - sin 2\alpha sin \alpha) + sin \alpha sin 2\alpha$

Сократим подобные члены:

$cos 2\alpha cos \alpha - \underline{sin 2\alpha sin \alpha} + \underline{sin \alpha sin 2\alpha} = cos 2\alpha cos \alpha$

Ответ: $\cos 2\alpha \cos \alpha$

4) Упростим выражение $cos 2\alpha - cos \alpha cos 3\alpha$.

Преобразуем произведение $cos \alpha cos 3\alpha$ по формуле преобразования произведения в сумму $cos A cos B = \frac{1}{2}(cos(A-B) + cos(A+B))$.

Пусть $A=3\alpha$ и $B=\alpha$:

$cos \alpha cos 3\alpha = \frac{1}{2}(cos(3\alpha - \alpha) + cos(3\alpha + \alpha)) = \frac{1}{2}(cos 2\alpha + cos 4\alpha)$

Подставим полученное выражение в исходное:

$cos 2\alpha - \frac{1}{2}(cos 2\alpha + cos 4\alpha) = cos 2\alpha - \frac{1}{2}cos 2\alpha - \frac{1}{2}cos 4\alpha$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{1}{2}cos 2\alpha - \frac{1}{2}cos 4\alpha = \frac{1}{2}(cos 2\alpha - cos 4\alpha)$

Теперь применим формулу преобразования разности косинусов в произведение $cos x - cos y = -2 sin\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}$:

$\frac{1}{2}\left(-2 sin\frac{2\alpha+4\alpha}{2}sin\frac{2\alpha-4\alpha}{2}\right) = -sin\frac{6\alpha}{2}sin\frac{-2\alpha}{2} = -sin(3\alpha)sin(-\alpha)$

Используя свойство нечетности синуса, $sin(-\alpha) = -sin \alpha$, получаем:

$-sin(3\alpha)(-sin \alpha) = sin \alpha sin 3\alpha$

Ответ: $\sin \alpha \sin 3\alpha$