Номер 487, страница 147 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 28. Формулы сложения - номер 487, страница 147.

Условие.

487 Упростить выражение:

1) $\sin (\alpha + \beta) + \sin (-\alpha) \cos (-\beta);$

2) $\cos (-\alpha) \sin (-\beta) - \sin (\alpha - \beta);$

3) $\cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \sin \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) - \sin (\alpha - \beta);$

4) $\sin (\alpha + \beta) + \sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \sin (-\beta).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $ \sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \cos(-\beta) $ воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также формулой синуса суммы.

Сначала используем свойства четности/нечетности:
$ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $ (синус — нечетная функция)
$ \cos(-\beta) = \cos(\beta) $ (косинус — четная функция)

Подставим эти соотношения в исходное выражение:
$ \sin(\alpha + \beta) + (-\sin(\alpha)) \cos(\beta) = \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha) \cos(\beta) $

Теперь применим формулу синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) $.
Подставим ее в полученное выражение:
$ (\sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)) - \sin(\alpha) \cos(\beta) $

Сократим подобные члены:
$ \sin(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) = \cos(\alpha)\sin(\beta) $

Ответ: $ \cos(\alpha)\sin(\beta) $

2) Для упрощения выражения $ \cos(-\alpha) \sin(-\beta) - \sin(\alpha - \beta) $ снова используем свойства четности/нечетности и формулу синуса разности.

Применяем свойства:
$ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $
$ \sin(-\beta) = -\sin(\beta) $

Подставляем в выражение:
$ \cos(\alpha) (-\sin(\beta)) - \sin(\alpha - \beta) = -\cos(\alpha)\sin(\beta) - \sin(\alpha - \beta) $

Теперь используем формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta) $.
Подставляем в наше выражение:
$ -\cos(\alpha)\sin(\beta) - (\sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)) $

Раскрываем скобки и сокращаем подобные слагаемые:
$ -\cos(\alpha)\sin(\beta) - \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) = -\sin(\alpha)\cos(\beta) $

Ответ: $ -\sin(\alpha)\cos(\beta) $

3) Для упрощения выражения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) \sin(\frac{\pi}{2} - \beta) - \sin(\alpha - \beta) $ воспользуемся формулами приведения и формулой синуса разности.

Формулы приведения:
$ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = \cos(\beta) $

Подставляем их в исходное выражение:
$ \sin(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha - \beta) $

Используем формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta) $.
Подставляем ее:
$ \sin(\alpha)\cos(\beta) - (\sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)) $

Раскрываем скобки и приводим подобные члены:
$ \sin(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) = \cos(\alpha)\sin(\beta) $

Ответ: $ \cos(\alpha)\sin(\beta) $

4) Для упрощения выражения $ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) \sin(-\beta) $ применим формулы приведения, свойства нечетности и формулу синуса суммы.

Используем формулу приведения и свойство нечетности синуса:
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $
$ \sin(-\beta) = -\sin(\beta) $

Подставляем в выражение:
$ \sin(\alpha + \beta) + \cos(\alpha)(-\sin(\beta)) = \sin(\alpha + \beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta) $

Теперь применяем формулу синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) $.
Подставляем ее в наше выражение:
$ (\sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)) - \cos(\alpha)\sin(\beta) $

Сокращаем подобные слагаемые:
$ \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) $

Ответ: $ \sin(\alpha)\cos(\beta) $