Номер 483, страница 146 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 28. Формулы сложения - номер 483, страница 146.

Условие.

483 Вычислить:

1) $cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$, если $sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

2) $cos \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$, если $cos \alpha = -\frac{1}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Вычислить $ \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) $, если $ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} $ и $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $

Для решения используем формулу косинуса суммы: $ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $.

Подставим наши значения $ x = \frac{\pi}{3} $ и $ y = \alpha $:

$ \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{3}) \cos(\alpha) - \sin(\frac{\pi}{3}) \sin(\alpha) $

Значения косинуса и синуса для $ \frac{\pi}{3} $ являются табличными: $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Значение $ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} $ дано в условии.

Найдем $ \cos \alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $

Так как по условию угол $ \alpha $ находится в первой четверти ($ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $), значение косинуса будет положительным: $ \cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $.

Теперь подставим все известные значения в исходную формулу:

$ \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $:

$ \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} - 3}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{6} - 3}{6} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6} - 3}{6} $.

2) Вычислить $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) $, если $ \cos \alpha = -\frac{1}{3} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $

Для решения используем формулу косинуса разности: $ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $.

Подставим наши значения $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{4} $:

$ \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \cos(\alpha) \cos(\frac{\pi}{4}) + \sin(\alpha) \sin(\frac{\pi}{4}) $

Значения косинуса и синуса для $ \frac{\pi}{4} $ являются табличными: $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Значение $ \cos \alpha = -\frac{1}{3} $ дано в условии.

Найдем $ \sin \alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $

Так как по условию угол $ \alpha $ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $), значение синуса будет положительным: $ \sin \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.

Теперь подставим все известные значения в исходную формулу:

$ \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) = (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (\frac{2\sqrt{2}}{3}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{6} = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{4}{6} = \frac{4 - \sqrt{2}}{6} $

Ответ: $ \frac{4 - \sqrt{2}}{6} $.