Номер 476, страница 143 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 27. Синус, косинус и тангенс углов α и -α. Глава 5. Тригонометрические формулы - номер 476, страница 143.

476 Упростить выражение:

1) $tg (-\alpha) \cos \alpha + \sin \alpha;$

2) $\cos \alpha - \text{ctg} \alpha (-\sin \alpha);$

3) $\frac{\cos (-\alpha)+\sin (-\alpha)}{\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha};$

4) $\text{tg} (-\alpha) \text{ctg} (-\alpha) + \cos^2 (-\alpha) + \sin^2 \alpha.$

1) Для упрощения выражения $ \text{tg}(-\alpha) \cos \alpha + \sin \alpha $ воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций.

Тангенс является нечетной функцией, поэтому $ \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $.

Подставим это в исходное выражение:

$ -\text{tg}(\alpha) \cos \alpha + \sin \alpha $

Теперь воспользуемся определением тангенса: $ \text{tg}(\alpha) = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.

$ -\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha + \sin \alpha $

Сократим $ \cos \alpha $ в первом слагаемом:

$ -\sin \alpha + \sin \alpha = 0 $

Ответ: $0$

2) Рассмотрим выражение $ \cos \alpha - \text{ctg} \, \alpha (-\sin \alpha) $.

Сначала упростим второе слагаемое, раскрыв скобки:

$ - \text{ctg} \, \alpha (-\sin \alpha) = \text{ctg} \, \alpha \cdot \sin \alpha $

Выражение принимает вид:

$ \cos \alpha + \text{ctg} \, \alpha \cdot \sin \alpha $

Используем определение котангенса: $ \text{ctg} \, \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.

$ \cos \alpha + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha $

Сократим $ \sin \alpha $:

$ \cos \alpha + \cos \alpha = 2 \cos \alpha $

Ответ: $2 \cos \alpha$

3) Упростим выражение $ \frac{\cos(-\alpha) + \sin(-\alpha)}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} $.

Применим свойства четности и нечетности к числителю:

$ \cos(-\alpha) = \cos \alpha $ (косинус – четная функция).

$ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $ (синус – нечетная функция).

Тогда числитель примет вид: $ \cos \alpha - \sin \alpha $.

Знаменатель представляет собой формулу разности квадратов. Разложим его на множители:

$ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha) $

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (\cos \alpha - \sin \alpha) $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq \sin \alpha $):

$ \frac{1}{\cos \alpha + \sin \alpha} $

Ответ: $ \frac{1}{\cos \alpha + \sin \alpha} $

4) Рассмотрим выражение $ \text{tg}(-\alpha) \text{ctg}(-\alpha) + \cos^2(-\alpha) + \sin^2 \alpha $.

Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства тригонометрических функций.

Для первого слагаемого $ \text{tg}(-\alpha) \text{ctg}(-\alpha) $: тангенс и котангенс являются нечетными функциями, поэтому $ \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $ и $ \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.

$ \text{tg}(-\alpha) \text{ctg}(-\alpha) = (-\text{tg}(\alpha)) \cdot (-\text{ctg}(\alpha)) = \text{tg}(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha) $

Так как произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице ($ \text{tg}(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha) = 1 $), то первое слагаемое равно 1.

Для второго слагаемого $ \cos^2(-\alpha) $: косинус является четной функцией, $ \cos(-\alpha) = \cos \alpha $.

$ \cos^2(-\alpha) = (\cos(-\alpha))^2 = (\cos \alpha)^2 = \cos^2 \alpha $.

Теперь подставим упрощенные части обратно в выражение:

$ 1 + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

$ 1 + (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 1 + 1 = 2 $

Ответ: $2$