Номер 477, страница 143 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 27. Синус, косинус и тангенс углов α и -α - номер 477, страница 143.

Условие.

477 Вычислить:

1) $\frac{2 - \sin^2\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \cos^2\left(-\frac{\pi}{3}\right)}{2 \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)};$

2) $\sqrt{3} \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) - 2 \operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 4 \cos\left(-\frac{3}{2}\pi\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано выражение: $\frac{2 - \sin^2(-\frac{\pi}{6}) + \cos^2(-\frac{\pi}{3})}{2 \cos(-\frac{\pi}{3}) + \sin(-\frac{\pi}{6})}$.

Для его вычисления воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций:
$\cos(-x) = \cos(x)$ (косинус — четная функция).
$\sin(-x) = -\sin(x)$ (синус — нечетная функция).

Применим эти свойства к нашему выражению:
$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$
$\sin^2(-\frac{\pi}{6}) = (-\sin(\frac{\pi}{6}))^2 = \sin^2(\frac{\pi}{6})$
$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3})$

Теперь найдем табличные значения для углов $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{3}$:
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Подставим все значения в исходное выражение.
В числителе: $2 - \sin^2(\frac{\pi}{6}) + \cos^2(\frac{\pi}{3}) = 2 - (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = 2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 2$.
В знаменателе: $2 \cos(\frac{\pi}{3}) + (-\sin(\frac{\pi}{6})) = 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Выполним финальное вычисление:
$\frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4$.

Ответ: 4.

2)

Дано выражение: $\sqrt{3} \sin(-\frac{\pi}{3}) - 2 \cot(-\frac{\pi}{4}) + 4 \cos(-\frac{3\pi}{2})$.

Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций:
$\sin(-x) = -\sin(x)$ (синус — нечетная функция).
$\cot(-x) = -\cot(x)$ (котангенс — нечетная функция).
$\cos(-x) = \cos(x)$ (косинус — четная функция).

Упростим выражение:
$\sqrt{3} \sin(-\frac{\pi}{3}) - 2 \cot(-\frac{\pi}{4}) + 4 \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \sqrt{3} \cdot (-\sin(\frac{\pi}{3})) - 2 \cdot (-\cot(\frac{\pi}{4})) + 4 \cos(\frac{3\pi}{2})$
$= -\sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{3}) + 2 \cot(\frac{\pi}{4}) + 4 \cos(\frac{3\pi}{2})$.

Теперь найдем табличные значения:
$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$
$\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

Подставим значения в упрощенное выражение и вычислим:
$-\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = -\frac{3}{2} + 2 + 0 = -\frac{3}{2} + \frac{4}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.