Номер 473, страница 141 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 26. Тригонометрические тождества - номер 473, страница 141.

Условие.

473 Известно, что $ \text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha = 3 $. Найти $ \text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

По условию задачи нам дано следующее равенство:

$ \text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha = 3 $

Необходимо найти значение выражения $ \text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha $.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой квадрата суммы: $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $. В нашем случае $ a = \text{tg } \alpha $ и $ b = \text{ctg } \alpha $.

Возведем обе части исходного равенства в квадрат:

$ (\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha)^2 = 3^2 $

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$ \text{tg}^2 \alpha + 2 \cdot \text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha + \text{ctg}^2 \alpha = 9 $

Используем основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла: $ \text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1 $. Подставим это значение в полученное уравнение:

$ \text{tg}^2 \alpha + 2 \cdot 1 + \text{ctg}^2 \alpha = 9 $

$ \text{tg}^2 \alpha + 2 + \text{ctg}^2 \alpha = 9 $

Теперь, чтобы найти искомое значение $ \text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha $, перенесем 2 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком:

$ \text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha = 9 - 2 $

$ \text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha = 7 $

Ответ: 7