Номер 478, страница 143 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 27. Синус, косинус и тангенс углов α и -α - номер 478, страница 143.

Условие.

478 Упростить выражение:

1) $\frac{\sin^3 (-\alpha) + \cos^3 (-\alpha)}{1 - \sin (-\alpha) \cos (-\alpha)};$

2) $\frac{1 - (\sin \alpha + \cos (-\alpha))^2}{-\sin (-\alpha)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)
Исходное выражение: $ \frac{\sin^3(-\alpha) + \cos^3(-\alpha)}{1 - \sin(-\alpha)\cos(-\alpha)} $.
Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: синус — нечетная функция, то есть $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $, а косинус — четная функция, то есть $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $.
Подставим эти соотношения в исходное выражение:
$ \frac{(\sin(-\alpha))^3 + (\cos(-\alpha))^3}{1 - \sin(-\alpha)\cos(-\alpha)} = \frac{(-\sin\alpha)^3 + (\cos\alpha)^3}{1 - (-\sin\alpha)(\cos\alpha)} = \frac{-\sin^3\alpha + \cos^3\alpha}{1 + \sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos^3\alpha - \sin^3\alpha}{1 + \sin\alpha\cos\alpha} $.
Применим формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $ к числителю, где $ a = \cos\alpha $ и $ b = \sin\alpha $:
$ \cos^3\alpha - \sin^3\alpha = (\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos^2\alpha + \cos\alpha\sin\alpha + \sin^2\alpha) $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, упростим второй множитель в числителе:
$ \cos^2\alpha + \cos\alpha\sin\alpha + \sin^2\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \sin\alpha\cos\alpha = 1 + \sin\alpha\cos\alpha $.
Теперь выражение примет вид:
$ \frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha\cos\alpha)}{1 + \sin\alpha\cos\alpha} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (1 + \sin\alpha\cos\alpha) $, который не равен нулю.
$ \cos\alpha - \sin\alpha $.
Ответ: $ \cos\alpha - \sin\alpha $.

2)
Исходное выражение: $ \frac{1 - (\sin\alpha + \cos(-\alpha))^2}{-\sin(-\alpha)} $.
Снова используем свойства четности косинуса $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $ и нечетности синуса $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $.
Подставим их в выражение:
$ \frac{1 - (\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{-(-\sin\alpha)} = \frac{1 - (\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{\sin\alpha} $.
Раскроем квадрат суммы в числителе по формуле $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $:
$ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha $.
Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:
$ \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha $.
Подставим результат в числитель дроби:
$ 1 - (1 + 2\sin\alpha\cos\alpha) = 1 - 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = -2\sin\alpha\cos\alpha $.
Теперь все выражение выглядит так:
$ \frac{-2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} $.
Сократим дробь на $ \sin\alpha $ (при условии, что $ \sin\alpha \ne 0 $).
$ -2\cos\alpha $.
Ответ: $ -2\cos\alpha $.