Номер 485, страница 147 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 28. Формулы сложения. Глава 5. Тригонометрические формулы - номер 485, страница 147.

485 Найти значение выражения:

1) $ \sin 73^\circ \cos 17^\circ + \cos 73^\circ \sin 17^\circ $

2) $ \sin 73^\circ \cos 13^\circ - \cos 73^\circ \sin 13^\circ $

3) $ \sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12} $

4) $ \sin \frac{7\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} $

1) Для решения данного примера используется формула синуса суммы двух углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.
В данном выражении $ \alpha = 73^\circ $ и $ \beta = 17^\circ $.
Применяя формулу, получаем:
$ \sin 73^\circ \cos 17^\circ + \cos 73^\circ \sin 17^\circ = \sin(73^\circ + 17^\circ) = \sin(90^\circ) = 1 $.
Ответ: 1

2) Для этого примера используется формула синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.
В данном выражении $ \alpha = 73^\circ $ и $ \beta = 13^\circ $.
Применяя формулу, получаем:
$ \sin 73^\circ \cos 13^\circ - \cos 73^\circ \sin 13^\circ = \sin(73^\circ - 13^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

3) Данное выражение $ \sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12} $ соответствует формуле синуса суммы двух углов $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $, если поменять слагаемые местами.
Здесь $ \alpha = \frac{5\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{\pi}{12} $.
Подставляем значения в формулу:
$ \sin(\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{6\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $.
Ответ: 1

4) Данное выражение $ \sin \frac{7\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} $ соответствует формуле синуса разности двух углов $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.
Здесь $ \alpha = \frac{7\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{\pi}{12} $.
Подставляем значения в формулу:
$ \sin(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{6\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $.
Ответ: 1