Номер 489, страница 147 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 28. Формулы сложения - номер 489, страница 147.

Условие.

489 Вычислить $sin (\alpha - \beta)$, если $cos \alpha = -0.8$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, и $sin \beta = -\frac{12}{13}$, $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для вычисления значения выражения $\sin(\alpha - \beta)$ воспользуемся тригонометрической формулой синуса разности:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

Нам даны значения $\cos \alpha$ и $\sin \beta$, а также промежутки, в которых находятся углы $\alpha$ и $\beta$. Чтобы использовать формулу, нам нужно найти $\sin \alpha$ и $\cos \beta$.

Найдем $\sin \alpha$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$

Подставим известное значение $\cos \alpha = -0.8 = -\frac{4}{5}$:

$\sin^2 \alpha = 1 - \left(-0.8\right)^2 = 1 - 0.64 = 0.36$

$\sin \alpha = \pm\sqrt{0.36} = \pm0.6$

Из условия известно, что $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Этот промежуток соответствует второй координатной четверти, где значения синуса положительны. Следовательно, выбираем положительное значение:

$\sin \alpha = 0.6 = \frac{3}{5}$

Теперь найдем $\cos \beta$. Снова используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$.

$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$

Подставим известное значение $\sin \beta = -\frac{12}{13}$:

$\cos^2 \beta = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169-144}{169} = \frac{25}{169}$

$\cos \beta = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$

Из условия известно, что $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$. Этот промежуток соответствует третьей координатной четверти, где значения косинуса отрицательны. Следовательно, выбираем отрицательное значение:

$\cos \beta = -\frac{5}{13}$

Теперь, когда все компоненты известны, подставим их в формулу синуса разности:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) - \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{12}{13}\right)$

Выполним вычисления:

$\sin(\alpha - \beta) = -\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 13} - \frac{4 \cdot 12}{5 \cdot 13} = -\frac{15}{65} - \frac{48}{65} = \frac{-15 - 48}{65} = -\frac{63}{65}$

Ответ: $-\frac{63}{65}$.