Номер 492, страница 148 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 28. Формулы сложения - номер 492, страница 148.

Условие.

492 Доказать тождество:

1) $\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta};$

2) $\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\operatorname{ctg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\beta + 1}{\operatorname{ctg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\beta - 1};$

3) $\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha);$

4) $\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \sin \beta} = \operatorname{ctg}\beta - \operatorname{tg}\alpha;$

5) $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta));$

6) $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Преобразуем правую часть тождества, используя определения тангенса: $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и $\tg \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$.

$\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{\tg \alpha - \tg \beta} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}$

Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $\cos \alpha \cos \beta$:

$\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}$

Сократим общий знаменатель $\cos \alpha \cos \beta$:

$\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}$

Используя формулы синуса суммы и синуса разности углов, $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ и $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)}$

Правая часть равна левой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Преобразуем правую часть, используя определения котангенса: $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ и $\ctg \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$.

$\frac{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta + 1}{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta - 1} = \frac{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} + 1}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} - 1} = \frac{\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta} + 1}{\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta} - 1}$

Приведем к общему знаменателю $\sin \alpha \sin \beta$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \sin \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \sin \beta}}$

Сократим общий знаменатель $\sin \alpha \sin \beta$:

$\frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}$

Используя формулы косинуса разности и косинуса суммы углов, $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ и $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$, получаем:

$\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$

Правая часть равна левой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть, используя формулу косинуса суммы: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.

$\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha$

Подставим известные значения $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha$

Вынесем общий множитель $\frac{\sqrt{2}}{2}$ за скобки:

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \alpha - \sin \alpha)$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть, используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

$\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \sin \beta} = \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \sin \beta}$

Разделим дробь на две:

$\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \sin \beta} - \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \sin \beta}$

Сократим общие множители в каждой дроби:

$\frac{\cos \beta}{\sin \beta} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Используя определения котангенса и тангенса, получаем:

$\ctg \beta - \tg \alpha$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

5) Это одна из формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Докажем ее, преобразовав правую часть.

Раскроем выражения в скобках, используя формулы косинуса суммы и разности:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Подставим эти выражения в правую часть тождества:

$\frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) = \frac{1}{2}((\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta))$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$\frac{1}{2}(2 \cos \alpha \cos \beta)$

$\cos \alpha \cos \beta$

Правая часть равна левой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

6) Это еще одна формула преобразования произведения в сумму (разность). Преобразуем правую часть.

Используем формулы косинуса разности и суммы:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

Подставим эти выражения в правую часть тождества:

$\frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) = \frac{1}{2}((\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) - (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta))$

Раскроем внутренние скобки:

$\frac{1}{2}(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{1}{2}(2 \sin \alpha \sin \beta)$

$\sin \alpha \sin \beta$

Правая часть равна левой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.