Номер 497, страница 148 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 28. Формулы сложения - номер 497, страница 148.

Условие.

497 Решить уравнение:

1) $ \cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x = -1; $

2) $ \sin 3x \cos 5x - \sin 5x \cos 3x = -1; $

3) $ \sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} + x \right) - \cos x = 1; $

4) $ \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) + \sin \frac{x}{2} = 1. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x = -1$

Воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

В нашем случае $\alpha = 6x$ и $\beta = 5x$.

Применяя формулу, получаем:

$\cos(6x - 5x) = -1$

$\cos x = -1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение:

$x = \pi + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $\sin 3x \cos 5x - \sin 5x \cos 3x = -1$

Воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

В данном уравнении $\alpha = 3x$ и $\beta = 5x$.

Применяя формулу, получаем:

$\sin(3x - 5x) = -1$

$\sin(-2x) = -1$

Так как синус — нечетная функция ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), уравнение можно переписать:

$-\sin(2x) = -1$

$\sin(2x) = 1$

Решаем это простейшее тригонометрическое уравнение:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

3) $\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \cos x = 1$

Воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$\sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} \cos x - \sin \frac{\pi}{4} \sin x\right) - \cos x = 1$

Мы знаем, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения:

$\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x\right) - \cos x = 1$

$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} \sin x - \cos x = 1$

$\frac{2}{2} \cos x - \frac{2}{2} \sin x - \cos x = 1$

$\cos x - \sin x - \cos x = 1$

$-\sin x = 1$

$\sin x = -1$

Решение этого уравнения:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

4) $\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) + \sin \frac{x}{2} = 1$

Воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$\sqrt{2} \left(\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{\pi}{4} \sin \frac{x}{2}\right) + \sin \frac{x}{2} = 1$

Подставим значения $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \frac{x}{2}\right) + \sin \frac{x}{2} = 1$

$\frac{2}{2} \cos \frac{x}{2} - \frac{2}{2} \sin \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} = 1$

$\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} = 1$

$\cos \frac{x}{2} = 1$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$\frac{x}{2} = 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 2:

$x = 4\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.