Номер 502, страница 151 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла - номер 502, страница 151.

Условие.

502 1) $2 \sin 75^\circ \cdot \cos 75^\circ$;

2) $\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ$;

3) $\frac{6 \operatorname{tg} 75^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 75^\circ}$;

4) $\frac{\operatorname{tg}^2 22^\circ 30' - 1}{\operatorname{tg} 22^\circ 30'}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения этого примера воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)$.

В нашем случае $\alpha = 75^\circ$.

$2 \cdot sin(75^\circ) \cdot cos(75^\circ) = sin(2 \cdot 75^\circ) = sin(150^\circ)$.

Чтобы найти значение $sin(150^\circ)$, используем формулу приведения: $sin(180^\circ - \alpha) = sin(\alpha)$.

$sin(150^\circ) = sin(180^\circ - 30^\circ) = sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Данное выражение соответствует формуле косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)$.

Здесь $\alpha = 75^\circ$.

$cos^2(75^\circ) - sin^2(75^\circ) = cos(2 \cdot 75^\circ) = cos(150^\circ)$.

Для нахождения значения $cos(150^\circ)$ используем формулу приведения: $cos(180^\circ - \alpha) = -cos(\alpha)$.

$cos(150^\circ) = cos(180^\circ - 30^\circ) = -cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2 \cdot \operatorname{tg}(\alpha)}{1 - \operatorname{tg}^2(\alpha)}$.

Преобразуем исходное выражение:

$\frac{6 \cdot \operatorname{tg}(75^\circ)}{1 - \operatorname{tg}^2(75^\circ)} = 3 \cdot \frac{2 \cdot \operatorname{tg}(75^\circ)}{1 - \operatorname{tg}^2(75^\circ)}$.

В данном случае $\alpha = 75^\circ$, поэтому выражение в правой части равно $3 \cdot \operatorname{tg}(2 \cdot 75^\circ)$.

$3 \cdot \operatorname{tg}(150^\circ)$.

Применим формулу приведения для тангенса: $\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$.

$\operatorname{tg}(150^\circ) = \operatorname{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\operatorname{tg}(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Тогда все выражение равно $3 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$.

4) Преобразуем данное выражение. Заметим, что оно похоже на формулу котангенса двойного угла $\operatorname{ctg}(2\alpha) = \frac{1 - \operatorname{tg}^2(\alpha)}{2 \cdot \operatorname{tg}(\alpha)}$.

Пусть $\alpha = 22^\circ30'$. Тогда $2\alpha = 45^\circ$.

Исходное выражение: $\frac{\operatorname{tg}^2(22^\circ30') - 1}{\operatorname{tg}(22^\circ30')}$.

Вынесем минус за скобки в числителе, чтобы привести его к виду формулы:

$-\frac{1 - \operatorname{tg}^2(22^\circ30')}{\operatorname{tg}(22^\circ30')}$.

Теперь сравним с формулой $2 \cdot \operatorname{ctg}(2\alpha) = 2 \cdot \frac{1 - \operatorname{tg}^2(\alpha)}{2 \cdot \operatorname{tg}(\alpha)} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2(\alpha)}{\operatorname{tg}(\alpha)}$.

Следовательно, наше выражение равно $-2 \cdot \operatorname{ctg}(2\alpha)$.

Подставим значение $\alpha = 22^\circ30'$:

$-2 \cdot \operatorname{ctg}(2 \cdot 22^\circ30') = -2 \cdot \operatorname{ctg}(45^\circ)$.

Так как $\operatorname{ctg}(45^\circ) = 1$, получаем:

$-2 \cdot 1 = -2$.

Ответ: $-2$.