Номер 509, страница 151 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла - номер 509, страница 151.

Условие.

509 Вычислить $sin 2\alpha$, если:

1) $sin \alpha + cos \alpha = \frac{1}{2}$;

2) $sin \alpha - cos \alpha = -\frac{1}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано уравнение $sin \alpha + cos \alpha = \frac{1}{2}$.

Для нахождения $sin 2\alpha$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin 2\alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$.

Чтобы получить произведение $sin \alpha cos \alpha$, возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(sin \alpha + cos \alpha)^2 = (\frac{1}{2})^2$

Раскроем левую часть по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$sin^2 \alpha + 2 sin \alpha cos \alpha + cos^2 \alpha = \frac{1}{4}$

Сгруппируем слагаемые и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$:

$(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha) + 2 sin \alpha cos \alpha = \frac{1}{4}$

$1 + 2 sin \alpha cos \alpha = \frac{1}{4}$

Теперь заменим выражение $2 sin \alpha cos \alpha$ на $sin 2\alpha$:

$1 + sin 2\alpha = \frac{1}{4}$

Отсюда выражаем и вычисляем $sin 2\alpha$:

$sin 2\alpha = \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{3}{4}$

Ответ: $-\frac{3}{4}$

2)

Дано уравнение $sin \alpha - cos \alpha = -\frac{1}{3}$.

Действуем аналогично первому пункту. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(sin \alpha - cos \alpha)^2 = (-\frac{1}{3})^2$

Раскроем левую часть по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$sin^2 \alpha - 2 sin \alpha cos \alpha + cos^2 \alpha = \frac{1}{9}$

Применяем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$:

$(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha) - 2 sin \alpha cos \alpha = \frac{1}{9}$

$1 - 2 sin \alpha cos \alpha = \frac{1}{9}$

Заменяем $2 sin \alpha cos \alpha$ на $sin 2\alpha$ согласно формуле синуса двойного угла:

$1 - sin 2\alpha = \frac{1}{9}$

Выражаем и вычисляем $sin 2\alpha$:

$sin 2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$