Номер 513, страница 154 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 30. Синус, косинус и тангенс половинного угла - номер 513, страница 154.

Условие.

513 Выразить квадрат синуса (косинуса) заданного угла через косинус угла, в два раза большего:

1) $\sin^2 15^\circ$; 2) $\cos^2 \frac{1}{4}$; 3) $\cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$; 4) $\sin^2 \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sin^2 15^\circ$;

Для решения воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$. В данном случае $x = 15^\circ$.Подставим это значение в формулу:$\sin^2(15^\circ) = \frac{1 - \cos(2 \cdot 15^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos(30^\circ)}{2}$.Мы выразили квадрат синуса угла $15^\circ$ через косинус угла $30^\circ$, который в два раза больше.Для справки, можно также вычислить точное значение: $\frac{1 - \cos(30^\circ)}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{1 - \cos(30^\circ)}{2}$.

2) $\cos^2 \frac{1}{4}$;

Используем формулу понижения степени для косинуса: $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$. В данном случае угол $x = \frac{1}{4}$ радиана (так как отсутствует знак градуса).Подставим это значение в формулу:$\cos^2(\frac{1}{4}) = \frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{1}{4})}{2} = \frac{1 + \cos(\frac{1}{2})}{2}$.

Ответ: $\frac{1 + \cos(\frac{1}{2})}{2}$.

3) $\cos^2 (\frac{\pi}{4} - \alpha)$;

Применим формулу понижения степени для косинуса: $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.Здесь $x = \frac{\pi}{4} - \alpha$. Угол, в два раза больший, равен $2x = 2(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\pi}{2} - 2\alpha$.Подставляем в формулу:$\cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1 + \cos(2(\frac{\pi}{4} - \alpha))}{2} = \frac{1 + \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)}{2}$.Это выражение является прямым ответом на задачу. Его можно также упростить, используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin(\theta)$:$\frac{1 + \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)}{2} = \frac{1 + \sin(2\alpha)}{2}$.

Ответ: $\frac{1 + \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)}{2}$.

4) $\sin^2 (\frac{\pi}{4} + \alpha)$.

Используем формулу понижения степени для синуса: $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.Здесь $x = \frac{\pi}{4} + \alpha$. Угол, в два раза больший, равен $2x = 2(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\pi}{2} + 2\alpha$.Подставляем в формулу:$\sin^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{1 - \cos(2(\frac{\pi}{4} + \alpha))}{2} = \frac{1 - \cos(\frac{\pi}{2} + 2\alpha)}{2}$.Это выражение является прямым ответом на задачу. Его можно также упростить, используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin(\theta)$:$\frac{1 - \cos(\frac{\pi}{2} + 2\alpha)}{2} = \frac{1 - (-\sin(2\alpha))}{2} = \frac{1 + \sin(2\alpha)}{2}$.

Ответ: $\frac{1 - \cos(\frac{\pi}{2} + 2\alpha)}{2}$.