Номер 517, страница 155 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 30. Синус, косинус и тангенс половинного угла - номер 517, страница 155.

Условие.

517 Вычислить:

1) $ \sin 15^\circ $;

2) $ \cos 15^\circ $;

3) $ \tg 22^\circ 30' $;

4) $ \ctg 22^\circ 30' $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) sin 15°

Для вычисления $\sin 15^\circ$ представим этот угол как разность двух стандартных углов, для которых известны значения тригонометрических функций, например, $45^\circ$ и $30^\circ$. Таким образом, $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.
Воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
Подставив наши углы, получим:
$\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ$.
Мы знаем значения тригонометрических функций для углов $30^\circ$ и $45^\circ$:
$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
Подставим эти значения в выражение:
$\sin 15^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

2) cos 15°

Аналогично предыдущему пункту, используем представление $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.
Применим формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.
Подставляем наши углы:
$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$.
Используем те же известные значения:
$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
Подставляем в выражение:
$\cos 15^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

3) tg 22°30'

Сначала переведем угловые минуты в градусы. В одном градусе 60 минут, поэтому $30' = \frac{30}{60}^\circ = 0.5^\circ$. Таким образом, $22^\circ30' = 22.5^\circ$.
Этот угол является половиной от угла $45^\circ$, то есть $22.5^\circ = \frac{45^\circ}{2}$.
Воспользуемся одной из формул тангенса половинного угла: $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$.
В нашем случае $\alpha = 45^\circ$.
$\text{tg} 22.5^\circ = \text{tg}\frac{45^\circ}{2} = \frac{1 - \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ}$.
Мы знаем, что $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставляем значения:
$\text{tg} 22.5^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.
Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\text{tg} 22.5^\circ = \frac{(2-\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2} = \sqrt{2}-1$.
Ответ: $\sqrt{2}-1$.

4) ctg 22°30'

Угол $22^\circ30'$ равен $22.5^\circ$. Котангенс можно найти через тангенс, используя соотношение $\text{ctg}\,x = \frac{1}{\text{tg}\,x}$.
Из предыдущего пункта нам известно, что $\text{tg} 22.5^\circ = \sqrt{2}-1$.
Следовательно, $\text{ctg} 22.5^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}+1)$:
$\text{ctg} 22.5^\circ = \frac{1 \cdot (\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$.
Также можно было использовать формулу котангенса половинного угла $\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$:
$\text{ctg} 22.5^\circ = \frac{1 + \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}+1$.
Ответ: $\sqrt{2}+1$.