Номер 524, страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 31. Формулы приведения - номер 524, страница 159.

Условие.

524 Найти значение острого угла $\alpha$, если:

1) $\cos 75^\circ = \cos (90^\circ - \alpha);$

2) $\sin 150^\circ = \sin (90^\circ + \alpha);$

3) $\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - \alpha);$

4) $\cos 310^\circ = \cos (270^\circ + \alpha);$

5) $\sin \frac{5}{4} \pi = \sin (\pi + \alpha);$

6) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} = \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right);$

7) $\cos \frac{7}{4} \pi = \cos \left( \frac{3}{2} \pi + \alpha \right);$

8) $\operatorname{ctg} \frac{11}{6} \pi = \operatorname{ctg} (2 \pi - \alpha).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано уравнение $ \cos 75^\circ = \cos(90^\circ - \alpha) $. Условие гласит, что $ \alpha $ - острый угол, то есть $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $.
Используем формулу приведения для правой части уравнения: $ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha $.
После подстановки уравнение принимает вид: $ \cos 75^\circ = \sin \alpha $.
Теперь воспользуемся связью между синусом и косинусом: $ \cos x = \sin(90^\circ - x) $. Применим это к левой части:
$ \sin(90^\circ - 75^\circ) = \sin \alpha $
$ \sin 15^\circ = \sin \alpha $
Поскольку и $ \alpha $, и $ 15^\circ $ являются острыми углами, равенство их синусов означает равенство самих углов.
Следовательно, $ \alpha = 15^\circ $.
Ответ: $ \alpha = 15^\circ $.

2) Дано уравнение $ \sin 150^\circ = \sin(90^\circ + \alpha) $, где $ \alpha $ - острый угол.
Применим формулы приведения к обеим частям уравнения.
Для левой части: $ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ $.
Для правой части: $ \sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha $.
Уравнение приобретает вид: $ \sin 30^\circ = \cos \alpha $.
Используем тождество $ \sin x = \cos(90^\circ - x) $ для левой части:
$ \cos(90^\circ - 30^\circ) = \cos \alpha $
$ \cos 60^\circ = \cos \alpha $
Так как $ \alpha $ и $ 60^\circ $ - острые углы, из равенства их косинусов следует, что $ \alpha = 60^\circ $.
Ответ: $ \alpha = 60^\circ $.

3) Дано уравнение $ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - \alpha) $, где $ \alpha $ - острый угол.
Упростим обе части с помощью формул приведения.
Левая часть: $ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ $.
Правая часть: $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha $.
Получаем уравнение: $ \sin 30^\circ = \sin \alpha $.
Поскольку $ \alpha $ и $ 30^\circ $ - острые углы, из равенства синусов следует равенство углов.
Следовательно, $ \alpha = 30^\circ $.
Ответ: $ \alpha = 30^\circ $.

4) Дано уравнение $ \cos 310^\circ = \cos(270^\circ + \alpha) $, где $ \alpha $ - острый угол.
Применим формулы приведения к обеим частям.
Левая часть: $ \cos 310^\circ = \cos(360^\circ - 50^\circ) = \cos 50^\circ $.
Правая часть: $ \cos(270^\circ + \alpha) = \sin \alpha $ (угол $ 270^\circ + \alpha $ находится в IV четверти, где косинус положителен).
Уравнение принимает вид: $ \cos 50^\circ = \sin \alpha $.
Используем тождество $ \cos x = \sin(90^\circ - x) $:
$ \sin(90^\circ - 50^\circ) = \sin \alpha $
$ \sin 40^\circ = \sin \alpha $
Так как $ \alpha $ и $ 40^\circ $ - острые углы, то $ \alpha = 40^\circ $.
Ответ: $ \alpha = 40^\circ $.

5) Дано уравнение $ \sin \frac{5\pi}{4} = \sin(\pi + \alpha) $. Угол $ \alpha $ - острый, то есть $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $.
Используем формулы приведения.
Левая часть: $ \sin \frac{5\pi}{4} = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} $ (угол в III четверти, синус отрицателен).
Правая часть: $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha $ (угол в III четверти, синус отрицателен).
Уравнение становится $ -\sin \frac{\pi}{4} = -\sin \alpha $, что равносильно $ \sin \frac{\pi}{4} = \sin \alpha $.
Поскольку $ \alpha $ и $ \frac{\pi}{4} $ - острые углы, $ \alpha = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $ \alpha = \frac{\pi}{4} $.

6) Дано уравнение $ \text{tg} \frac{\pi}{5} = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) $, где $ \alpha $ - острый угол.
Применим формулу приведения к правой части: $ \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg} \alpha $.
Уравнение принимает вид $ \text{tg} \frac{\pi}{5} = \text{ctg} \alpha $.
Используем тождество $ \text{tg} x = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - x) $ для левой части:
$ \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = \text{ctg} \alpha $
$ \text{ctg}(\frac{5\pi - 2\pi}{10}) = \text{ctg} \alpha $
$ \text{ctg} \frac{3\pi}{10} = \text{ctg} \alpha $.
Поскольку $ \alpha $ является острым углом и $ \frac{3\pi}{10} $ также острый угол ($ 0 < \frac{3\pi}{10} < \frac{\pi}{2} $), то $ \alpha = \frac{3\pi}{10} $.
Ответ: $ \alpha = \frac{3\pi}{10} $.

7) Дано уравнение $ \cos \frac{7\pi}{4} = \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) $, где $ \alpha $ - острый угол.
Применим формулы приведения.
Левая часть: $ \cos \frac{7\pi}{4} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4} $.
Правая часть: $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha $ (угол в IV четверти, косинус положителен).
Уравнение становится: $ \cos \frac{\pi}{4} = \sin \alpha $.
Используя тождество $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $, получаем:
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = \sin \alpha $
$ \sin \frac{\pi}{4} = \sin \alpha $.
Так как $ \alpha $ и $ \frac{\pi}{4} $ - острые углы, $ \alpha = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $ \alpha = \frac{\pi}{4} $.

8) Дано уравнение $ \text{ctg} \frac{11\pi}{6} = \text{ctg}(2\pi - \alpha) $, где $ \alpha $ - острый угол.
Применим формулы приведения.
Левая часть: $ \text{ctg} \frac{11\pi}{6} = \text{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\text{ctg} \frac{\pi}{6} $ (угол в IV четверти, котангенс отрицателен).
Правая часть: $ \text{ctg}(2\pi - \alpha) = -\text{ctg} \alpha $ (угол в IV четверти, котангенс отрицателен).
Уравнение становится $ -\text{ctg} \frac{\pi}{6} = -\text{ctg} \alpha $, что равносильно $ \text{ctg} \frac{\pi}{6} = \text{ctg} \alpha $.
Поскольку $ \alpha $ и $ \frac{\pi}{6} $ - острые углы, то $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.
Ответ: $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.