Номер 527, страница 160 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 31. Формулы приведения - номер 527, страница 160.

Условие.

Упростить выражение (527—528).

527 1) $\frac{\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \mathrm{tg}(\pi + \alpha) + \mathrm{sin}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)}{\mathrm{cos}(\pi + \alpha)}$;

2) $\frac{\mathrm{sin}(\pi - \alpha) + \mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) + \mathrm{ctg}(\pi - \alpha)}{\mathrm{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения. Рассмотрим каждый тригонометрический член выражения по отдельности.

Упростим числитель дроби:

• $ \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) $: Угол $ (\frac{\pi}{2} - \alpha) $ находится в I четверти, где котангенс положителен. Так как в формуле присутствует $ \frac{\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию. Таким образом, $ \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(\alpha) $.
• $ \text{tg}(\pi + \alpha) $: Угол $ (\pi + \alpha) $ находится в III четверти, где тангенс положителен. Функция не меняется. Таким образом, $ \text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}(\alpha) $.
• $ \text{sin}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $: Угол $ (\frac{3\pi}{2} - \alpha) $ находится в III четверти, где синус отрицателен. Так как в формуле присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию. Таким образом, $ \text{sin}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\text{cos}(\alpha) $.

Упростим знаменатель дроби:

• $ \text{cos}(\pi + \alpha) $: Угол $ (\pi + \alpha) $ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Функция не меняется. Таким образом, $ \text{cos}(\pi + \alpha) = -\text{cos}(\alpha) $.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$ \frac{\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \text{tg}(\pi + \alpha) + \text{sin}(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\text{cos}(\pi + \alpha)} = \frac{\text{tg}(\alpha) - \text{tg}(\alpha) - \text{cos}(\alpha)}{-\text{cos}(\alpha)} = \frac{-\text{cos}(\alpha)}{-\text{cos}(\alpha)} = 1 $

Ответ: 1

2) Упростим каждый член выражения, используя формулы приведения.

Упростим числитель дроби:

• $ \text{sin}(\pi - \alpha) $: Угол $ (\pi - \alpha) $ находится во II четверти, где синус положителен. Функция не меняется. Следовательно, $ \text{sin}(\pi - \alpha) = \text{sin}(\alpha) $.
• $ \text{cos}(\frac{\pi}{2} + \alpha) $: Угол $ (\frac{\pi}{2} + \alpha) $ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Функция меняется на кофункцию. Следовательно, $ \text{cos}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{sin}(\alpha) $.
• $ \text{ctg}(\pi - \alpha) $: Угол $ (\pi - \alpha) $ находится во II четверти, где котангенс отрицателен. Функция не меняется. Следовательно, $ \text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.

Упростим знаменатель дроби:

• $ \text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $: Угол $ (\frac{3\pi}{2} - \alpha) $ находится в III четверти, где тангенс положителен. Функция меняется на кофункцию. Следовательно, $ \text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $.

Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{\text{sin}(\pi - \alpha) + \text{cos}(\frac{\pi}{2} + \alpha) + \text{ctg}(\pi - \alpha)}{\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} = \frac{\text{sin}(\alpha) + (-\text{sin}(\alpha)) + (-\text{ctg}(\alpha))}{\text{ctg}(\alpha)} = \frac{\text{sin}(\alpha) - \text{sin}(\alpha) - \text{ctg}(\alpha)}{\text{ctg}(\alpha)} = \frac{-\text{ctg}(\alpha)}{\text{ctg}(\alpha)} = -1 $

Ответ: -1