Номер 533, страница 161 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 31. Формулы приведения - номер 533, страница 161.

Условие.

533 1) $\sin \left(\frac{7\pi}{6} + \alpha\right) = -\sin \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right);$

2) $\sin \left(\frac{5\pi}{4} + \alpha\right) = -\sin \left(\frac{3\pi}{4} - \alpha\right);$

3) $\cos \left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = -\cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right);$

4) $\cos \left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos \left(\alpha + \frac{4\pi}{3}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы доказать тождество $ \sin\left(\frac{7\pi}{6} + \alpha\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) $, преобразуем его левую часть, используя формулы приведения.
Представим угол $ \frac{7\pi}{6} $ в виде суммы $ \pi + \frac{\pi}{6} $.
$ \sin\left(\frac{7\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\left(\pi + \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\right) $
Применяем формулу приведения $ \sin(\pi + x) = -\sin(x) $, где в нашем случае $ x = \frac{\pi}{6} + \alpha $.
$ \sin\left(\pi + \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) $
Левая часть тождества равна правой.
Ответ: тождество верно.

2) Чтобы доказать тождество $ \sin\left(\frac{5\pi}{4} + \alpha\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{4} - \alpha\right) $, преобразуем обе его части.
Преобразуем левую часть:
$ \sin\left(\frac{5\pi}{4} + \alpha\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \sin\left(\pi + \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\right) $
Используя формулу $ \sin(\pi + x) = -\sin(x) $, получаем:
$ -\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) $
Теперь преобразуем правую часть:
$ -\sin\left(\frac{3\pi}{4} - \alpha\right) = -\sin\left(\pi - \frac{\pi}{4} - \alpha\right) = -\sin\left(\pi - \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\right) $
Используя формулу $ \sin(\pi - x) = \sin(x) $, получаем:
$ -\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) $
Левая и правая части равны.
Ответ: тождество верно.

3) Чтобы доказать тождество $ \cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) $, преобразуем его левую часть.
Используем свойство четности косинуса $ \cos(-x) = \cos(x) $:
$ \cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(-\left(\frac{2\pi}{3} - \alpha\right)\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3} - \alpha\right) $
Представим угол $ \frac{2\pi}{3} $ как $ \pi - \frac{\pi}{3} $:
$ \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \cos\left(\pi - \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\right) $
Применяем формулу приведения $ \cos(\pi - x) = -\cos(x) $, где $ x = \frac{\pi}{3} + \alpha $:
$ \cos\left(\pi - \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) $
Левая часть тождества равна правой.
Ответ: тождество верно.

4) Чтобы доказать тождество $ \cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\alpha + \frac{4\pi}{3}\right) $, преобразуем его правую часть.
Представим угол $ \frac{4\pi}{3} $ как $ 2\pi - \frac{2\pi}{3} $:
$ \cos\left(\alpha + \frac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(\alpha + 2\pi - \frac{2\pi}{3}\right) $
Используем периодичность косинуса, у которого период равен $ 2\pi $, то есть $ \cos(x + 2\pi) = \cos(x) $:
$ \cos\left(\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) + 2\pi\right) = \cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) $
Правая часть тождества равна левой.
Ответ: тождество верно.