Номер 534, страница 161 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 31. Формулы приведения - номер 534, страница 161.

Условие.

534 Доказать, что синус суммы двух внутренних углов треугольника равен синусу его третьего угла.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — внутренние углы произвольного треугольника.

Основным свойством любого треугольника является то, что сумма его внутренних углов всегда равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Это можно записать в виде формулы:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Нам необходимо доказать, что синус суммы двух любых углов, например $\alpha$ и $\beta$, равен синусу третьего угла $\gamma$. То есть, мы должны доказать справедливость равенства:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\gamma)$

Из формулы суммы углов треугольника выразим сумму углов $\alpha + \beta$:

$\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$

Теперь найдем синус этой суммы:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin(180^\circ - \gamma)$

Для дальнейшего преобразования воспользуемся тригонометрической формулой приведения, которая гласит: $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$.

Применив эту формулу к нашему выражению, где в качестве $x$ выступает угол $\gamma$, получаем:

$\sin(180^\circ - \gamma) = \sin(\gamma)$

Таким образом, мы приходим к выводу, что:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\gamma)$

Это доказывает исходное утверждение. Выбор пары углов был произвольным, поэтому доказательство справедливо для любой пары углов треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Так как сумма углов треугольника $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, то сумма двух углов $\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$. Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем, что $\sin(\alpha + \beta) = \sin(180^\circ - \gamma) = \sin(\gamma)$.