Номер 535, страница 161 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 31. Формулы приведения - номер 535, страница 161.

Условие.

535 Решить уравнение:

1) $\cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 1;$

2) $\sin \left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = 1;$

3) $\cos (x - \pi) = 0;$

4) $\sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 1;$

5) $\sin (2x + 3\pi) \sin \left(3x + \frac{3\pi}{2}\right) - \sin 3x \cos 2x = -1;$

6) $\sin \left(5x - \frac{3\pi}{2}\right) \cos (2x + 4\pi) - \sin (5x + \pi) \sin 2x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано уравнение $cos(\frac{\pi}{2} - x) = 1$.
Используем формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.
Уравнение принимает вид:
$sin(x) = 1$
Это частный случай решения тригонометрического уравнения.
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $sin(\frac{3\pi}{2} + x) = 1$.
Используем формулу приведения $sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -cos(\alpha)$.
Уравнение принимает вид:
$-cos(x) = 1$
$cos(x) = -1$
Это частный случай, решением которого является:
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $cos(x - \pi) = 0$.
Так как косинус — четная функция, $cos(x - \pi) = cos(\pi - x)$.
Используем формулу приведения $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$.
Уравнение принимает вид:
$-cos(x) = 0$
$cos(x) = 0$
Решением этого уравнения является:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $sin(x - \frac{\pi}{2}) = 1$.
Так как синус — нечетная функция, $sin(x - \frac{\pi}{2}) = -sin(\frac{\pi}{2} - x)$.
Используем формулу приведения $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha)$.
Уравнение принимает вид:
$-cos(x) = 1$
$cos(x) = -1$
Решением этого уравнения является:
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) Дано уравнение $sin(2x + 3\pi) sin(3x + \frac{3\pi}{2}) - sin(3x)cos(2x) = -1$.
Упростим выражения, используя периодичность и формулы приведения.
$sin(2x + 3\pi) = sin(2x + \pi + 2\pi) = sin(2x + \pi) = -sin(2x)$.
$sin(3x + \frac{3\pi}{2}) = -cos(3x)$.
Подставим в исходное уравнение:
$(-sin(2x))(-cos(3x)) - sin(3x)cos(2x) = -1$
$sin(2x)cos(3x) - cos(2x)sin(3x) = -1$
Свернем левую часть по формуле синуса разности $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$:
$sin(2x - 3x) = -1$
$sin(-x) = -1$
$-sin(x) = -1$
$sin(x) = 1$
Решением этого уравнения является:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) Дано уравнение $sin(5x - \frac{3\pi}{2}) cos(2x + 4\pi) - sin(5x + \pi) sin(2x) = 0$.
Упростим выражения, используя периодичность и формулы приведения.
$sin(5x - \frac{3\pi}{2}) = sin(5x - \frac{3\pi}{2} + 2\pi) = sin(5x + \frac{\pi}{2}) = sin(\frac{\pi}{2} + 5x) = cos(5x)$.
$cos(2x + 4\pi) = cos(2x)$ (в силу периодичности косинуса).
$sin(5x + \pi) = -sin(5x)$.
Подставим в исходное уравнение:
$cos(5x)cos(2x) - (-sin(5x))sin(2x) = 0$
$cos(5x)cos(2x) + sin(5x)sin(2x) = 0$
Свернем левую часть по формуле косинуса разности $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$:
$cos(5x - 2x) = 0$
$cos(3x) = 0$
Решение этого уравнения:
$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.