Номер 542, страница 164 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 32. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов - номер 542, страница 164.

Условие.

542 Доказать тождество:

1) $ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha + \sin 2\alpha = \sqrt{2} \cos \left( 2\alpha - \frac{\pi}{4} \right); $

2) $ \cos \alpha + \cos \left( \frac{2\pi}{3} + \alpha \right) + \cos \left( \frac{2\pi}{3} - \alpha \right) = 0; $

3) $ \frac{\sin 2\alpha + \sin 5\alpha - \sin 3\alpha}{\cos \alpha + 1 - 2 \sin^2 2\alpha} = 2 \sin \alpha. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Доказать тождество: $ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha + \sin 2\alpha = \sqrt{2} \cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) $

Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ и формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $:

$ (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = (\cos 2\alpha) \cdot 1 = \cos 2\alpha $

Таким образом, левая часть тождества принимает вид:

$ \cos 2\alpha + \sin 2\alpha $

Теперь преобразуем это выражение, используя метод вспомогательного угла. Вынесем $ \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $ за скобки:

$ \cos 2\alpha + \sin 2\alpha = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2\alpha + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2\alpha\right) $

Так как $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $, заменим коэффициенты в скобках:

$ \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos 2\alpha + \sin\frac{\pi}{4}\sin 2\alpha\right) $

Используем формулу косинуса разности $ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $:

$ \sqrt{2}\cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Следовательно, левая и правая части равны.

Ответ: Тождество доказано.

2) Доказать тождество: $ \cos \alpha + \cos\left(\frac{2\pi}{3} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{3} - \alpha\right) = 0 $

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем второе и третье слагаемые и применим к ним формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:

$ \cos\left(\frac{2\pi}{3} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{3} - \alpha\right) = 2\cos\left(\frac{\frac{2\pi}{3} + \alpha + \frac{2\pi}{3} - \alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{2\pi}{3} + \alpha - \left(\frac{2\pi}{3} - \alpha\right)}{2}\right) $

Упростим аргументы косинусов:

$ 2\cos\left(\frac{\frac{4\pi}{3}}{2}\right)\cos\left(\frac{2\alpha}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\cos\alpha $

Найдем значение $ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) $:

$ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $

Подставим это значение обратно в выражение:

$ 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \cos\alpha = -\cos\alpha $

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение левой части:

$ \cos \alpha + (-\cos\alpha) = \cos\alpha - \cos\alpha = 0 $

Левая часть равна 0, что соответствует правой части тождества.

Ответ: Тождество доказано.

3) Доказать тождество: $ \frac{\sin 2\alpha + \sin 5\alpha - \sin 3\alpha}{\cos \alpha + 1 - 2\sin^2 2\alpha} = 2 \sin \alpha $

Преобразуем отдельно числитель и знаменатель дроби в левой части.

Преобразуем числитель: $ \sin 2\alpha + \sin 5\alpha - \sin 3\alpha $. Сгруппируем $ \sin 5\alpha $ и $ -\sin 3\alpha $ и применим формулу разности синусов $ \sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $:

$ \sin 5\alpha - \sin 3\alpha = 2\cos\left(\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{5\alpha-3\alpha}{2}\right) = 2\cos 4\alpha \sin\alpha $

Тогда числитель равен:

$ \sin 2\alpha + 2\cos 4\alpha \sin\alpha $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $ и вынесем общий множитель $ 2\sin\alpha $ за скобки:

$ 2\sin\alpha\cos\alpha + 2\cos 4\alpha \sin\alpha = 2\sin\alpha(\cos\alpha + \cos 4\alpha) $

Преобразуем знаменатель: $ \cos \alpha + 1 - 2\sin^2 2\alpha $. Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $. В нашем случае $ x=2\alpha $, поэтому:

$ 1 - 2\sin^2 2\alpha = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha $

Тогда знаменатель равен:

$ \cos\alpha + \cos 4\alpha $

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$ \frac{2\sin\alpha(\cos\alpha + \cos 4\alpha)}{\cos\alpha + \cos 4\alpha} $

Сократим дробь на $ (\cos\alpha + \cos 4\alpha) $ (при условии, что это выражение не равно нулю):

$ 2\sin\alpha $

Левая часть тождества равна правой.

Ответ: Тождество доказано.