Номер 537, страница 163 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 32. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов - номер 537, страница 163.

Условие.

537 Упростить выражение:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$;

2) $\cos\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} + \beta\right)$;

3) $\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$;

4) $\cos^2\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) - \cos^2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$ используем формулы синуса суммы и синуса разности:

$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$

В нашем случае $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$. Сложим два раскрытых по формулам выражения:

$\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \left(\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha\right) + \left(\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha\right)$

Приводя подобные члены, получаем:

$2\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha$

Зная, что $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем это значение:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha$.

Ответ: $\sqrt{3}\cos(\alpha)$

2) Для упрощения выражения $\cos\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} + \beta\right)$ используем формулы косинуса разности и косинуса суммы:

$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

В нашем случае $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \beta$. Вычтем второе выражение из первого:

$\cos\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) = \left(\cos\frac{\pi}{4}\cos\beta + \sin\frac{\pi}{4}\sin\beta\right) - \left(\cos\frac{\pi}{4}\cos\beta - \sin\frac{\pi}{4}\sin\beta\right)$

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем:

$\cos\frac{\pi}{4}\cos\beta + \sin\frac{\pi}{4}\sin\beta - \cos\frac{\pi}{4}\cos\beta + \sin\frac{\pi}{4}\sin\beta = 2\sin\frac{\pi}{4}\sin\beta$.

Зная, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем это значение:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\beta = \sqrt{2}\sin\beta$.

Ответ: $\sqrt{2}\sin(\beta)$

3) Упростим выражение $\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством разности квадратов синусов: $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$.

В данном случае, пусть $A = \frac{\pi}{4} + \alpha$ и $B = \frac{\pi}{4} - \alpha$.

Найдём сумму и разность $A$ и $B$:

$A+B = \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$A-B = \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 2\alpha$

Теперь подставим эти значения в тождество:

$\sin(A+B)\sin(A-B) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin(2\alpha)$.

Поскольку $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, выражение упрощается до $1 \cdot \sin(2\alpha) = \sin(2\alpha)$.

Ответ: $\sin(2\alpha)$

4) Упростим выражение $\cos^2\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) - \cos^2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством разности квадратов косинусов: $\cos^2 A - \cos^2 B = -\sin(A+B)\sin(A-B)$.

В данном случае, пусть $A = \alpha - \frac{\pi}{4}$ и $B = \alpha + \frac{\pi}{4}$.

Найдём сумму и разность $A$ и $B$:

$A+B = \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) + \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 2\alpha$

$A-B = \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) - \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}$

Подставим эти значения в тождество:

$-\sin(A+B)\sin(A-B) = -\sin(2\alpha)\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$.

Поскольку синус является нечетной функцией, $\sin(-x) = -\sin(x)$, то $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$.

Подставим это значение в выражение: $-\sin(2\alpha) \cdot (-1) = \sin(2\alpha)$.

Ответ: $\sin(2\alpha)$