Номер 531, страница 160 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 31. Формулы приведения - номер 531, страница 160.

Условие.

531 Вычислить:

1) $cos \frac{23\pi}{4} - sin \frac{15\pi}{4} - ctg \left(-\frac{11\pi}{2}\right);$

2) $sin \frac{25\pi}{3} - cos \left(-\frac{17\pi}{2}\right) - tg \frac{10\pi}{3};$

3) $sin (-7\pi) - 2 cos \frac{31\pi}{3} - tg \frac{7\pi}{4};$

4) $cos (-9\pi) + 2 sin \left(-\frac{49\pi}{6}\right) - ctg \left(-\frac{21\pi}{4}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $ \cos \frac{23\pi}{4} - \sin \frac{15\pi}{4} - \ctg \left(-\frac{11\pi}{2}\right) $

Для решения воспользуемся свойствами периодичности и четности/нечетности тригонометрических функций.

Найдем значение каждого члена выражения по отдельности:

$ \cos \frac{23\pi}{4} = \cos \left(\frac{24\pi - \pi}{4}\right) = \cos \left(6\pi - \frac{\pi}{4}\right) $. Так как период косинуса $ 2\pi $, то $ \cos \left(6\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) $. Косинус – четная функция, поэтому $ \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \sin \frac{15\pi}{4} = \sin \left(\frac{16\pi - \pi}{4}\right) = \sin \left(4\pi - \frac{\pi}{4}\right) $. Так как период синуса $ 2\pi $, то $ \sin \left(4\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) $. Синус – нечетная функция, поэтому $ \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \ctg \left(-\frac{11\pi}{2}\right) $. Котангенс – нечетная функция, поэтому $ \ctg \left(-\frac{11\pi}{2}\right) = -\ctg \left(\frac{11\pi}{2}\right) $. Период котангенса $ \pi $, então $ -\ctg \left(\frac{11\pi}{2}\right) = -\ctg \left(\frac{10\pi + \pi}{2}\right) = -\ctg \left(5\pi + \frac{\pi}{2}\right) = -\ctg \frac{\pi}{2} = 0 $.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$ \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 0 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $.

Ответ: $ \sqrt{2} $

2) $ \sin \frac{25\pi}{3} - \cos \left(-\frac{17\pi}{2}\right) - \tg \frac{10\pi}{3} $

Найдем значение каждого члена выражения:

$ \sin \frac{25\pi}{3} = \sin \left(\frac{24\pi + \pi}{3}\right) = \sin \left(8\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ \cos \left(-\frac{17\pi}{2}\right) = \cos \frac{17\pi}{2} = \cos \left(\frac{16\pi + \pi}{2}\right) = \cos \left(8\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0 $.

$ \tg \frac{10\pi}{3} = \tg \left(\frac{9\pi + \pi}{3}\right) = \tg \left(3\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $.

Подставим значения в выражение:

$ \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $

3) $ \sin(-7\pi) - 2 \cos \frac{31\pi}{3} - \tg \frac{7\pi}{4} $

Найдем значение каждого члена выражения:

$ \sin(-7\pi) = -\sin(7\pi) $. Так как $ 7\pi = 6\pi + \pi $, то $ -\sin(7\pi) = -\sin(\pi) = 0 $.

$ 2 \cos \frac{31\pi}{3} = 2 \cos \left(\frac{30\pi + \pi}{3}\right) = 2 \cos \left(10\pi + \frac{\pi}{3}\right) = 2 \cos \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $.

$ \tg \frac{7\pi}{4} = \tg \left(\frac{8\pi - \pi}{4}\right) = \tg \left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \tg \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\tg \frac{\pi}{4} = -1 $.

Подставим значения в выражение:

$ 0 - 1 - (-1) = -1 + 1 = 0 $.

Ответ: $ 0 $

4) $ \cos(-9\pi) + 2 \sin \left(-\frac{49\pi}{6}\right) - \ctg \left(-\frac{21\pi}{4}\right) $

Найдем значение каждого члена выражения:

$ \cos(-9\pi) = \cos(9\pi) = \cos(8\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1 $.

$ 2 \sin \left(-\frac{49\pi}{6}\right) = -2 \sin \left(\frac{49\pi}{6}\right) = -2 \sin \left(\frac{48\pi + \pi}{6}\right) = -2 \sin \left(8\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -2 \sin \frac{\pi}{6} = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 $.

$ \ctg \left(-\frac{21\pi}{4}\right) = -\ctg \left(\frac{21\pi}{4}\right) = -\ctg \left(\frac{20\pi + \pi}{4}\right) = -\ctg \left(5\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\ctg \frac{\pi}{4} = -1 $.

Подставим значения в выражение:

$ -1 + (-1) - (-1) = -1 - 1 + 1 = -1 $.

Ответ: $ -1 $