Номер 525, страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 31. Формулы приведения - номер 525, страница 159.

Условие.

Вычислить с помощью формулы приведения (525—526).

525 1) $cos 150^\circ$;

2) $sin 135^\circ$;

3) $ctg 135^\circ$;

4) $cos 120^\circ$;

5) $cos 225^\circ$;

6) $sin 210^\circ$;

7) $ctg 240^\circ$;

8) $sin 315^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данных задач используются формулы приведения, которые позволяют свести вычисление тригонометрических функций от произвольных углов к вычислению функций от острых углов (от 0° до 90°). Основное правило заключается в следующем:

1. Определить, в какой четверти находится исходный угол, и какой знак имеет исходная функция в этой четверти.
2. Представить угол в виде $(n \cdot 90° \pm \alpha)$ или $(n \cdot 180° \pm \alpha)$, где $\alpha$ — острый угол.
3. Если угол представлен через $180°$ или $360°$, название функции не меняется. Если через $90°$ или $270°$, то синус меняется на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и наоборот.

1) cos 150°

Угол 150° находится во второй четверти (от 90° до 180°), где косинус отрицателен. Представим 150° как $180° - 30°$. При использовании угла 180° название функции не меняется. $cos(150°) = cos(180° - 30°) = -cos(30°)$. Так как $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $cos(150°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

2) sin 135°

Угол 135° находится во второй четверти, где синус положителен. Представим 135° как $180° - 45°$. Название функции не меняется. $sin(135°) = sin(180° - 45°) = sin(45°)$. Поскольку $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $sin(135°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

3) ctg 135°

Угол 135° находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. Представим 135° как $180° - 45°$. $ctg(135°) = ctg(180° - 45°) = -ctg(45°)$. Зная, что $ctg(45°) = 1$, получаем $ctg(135°) = -1$. Ответ: -1

4) cos 120°

Угол 120° находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Представим 120° как $180° - 60°$. $cos(120°) = cos(180° - 60°) = -cos(60°)$. Так как $cos(60°) = \frac{1}{2}$, то $cos(120°) = -\frac{1}{2}$. Ответ: $-\frac{1}{2}$

5) cos 225°

Угол 225° находится в третьей четверти (от 180° до 270°), где косинус отрицателен. Представим 225° как $180° + 45°$. $cos(225°) = cos(180° + 45°) = -cos(45°)$. Поскольку $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $cos(225°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

6) sin 210°

Угол 210° находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Представим 210° как $180° + 30°$. $sin(210°) = sin(180° + 30°) = -sin(30°)$. Так как $sin(30°) = \frac{1}{2}$, то $sin(210°) = -\frac{1}{2}$. Ответ: $-\frac{1}{2}$

7) ctg 240°

Угол 240° находится в третьей четверти, где котангенс положителен (так как и синус, и косинус отрицательны). Представим 240° как $180° + 60°$. $ctg(240°) = ctg(180° + 60°) = ctg(60°)$. Значение $ctg(60°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

8) sin 315°

Угол 315° находится в четвертой четверти (от 270° до 360°), где синус отрицателен. Представим 315° как $360° - 45°$. $sin(315°) = sin(360° - 45°) = -sin(45°)$. Так как $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $sin(315°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$