Номер 519, страница 155 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 30. Синус, косинус и тангенс половинного угла - номер 519, страница 155.

Условие.

Доказать тождество (519—520).

519 1) $2 \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = 1 + \sin \alpha;$

2) $2 \sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = 1 - \sin \alpha;$

3) $\frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \text{tg}^4 \alpha;$

4) $\frac{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha} = \text{ctg} \alpha.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)
Для доказательства тождества $2 \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = 1 + \sin \alpha$ преобразуем его левую часть.
Используем формулу понижения степени для косинуса: $2 \cos^2 x = 1 + \cos(2x)$.
В данном случае $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$. Тогда удвоенный угол $2x$ будет равен $2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \alpha$.
Подставим это в формулу:
$2 \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.
Теперь применим формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha$.
В результате получаем: $1 + \sin \alpha$.
Таким образом, левая часть тождества равна правой части: $1 + \sin \alpha = 1 + \sin \alpha$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2)
Для доказательства тождества $2 \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = 1 - \sin \alpha$ преобразуем его левую часть.
Используем формулу понижения степени для синуса: $2 \sin^2 x = 1 - \cos(2x)$.
Здесь $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$, следовательно, $2x = 2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \alpha$.
Подставляем в левую часть:
$2 \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.
Применяя формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha$, получаем:
$1 - \sin \alpha$.
Левая часть тождества равна правой: $1 - \sin \alpha = 1 - \sin \alpha$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3)
Докажем тождество $\frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \text{tg}^4 \alpha$. Преобразуем числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Преобразуем числитель, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 4\alpha = 2 \cos^2 2\alpha - 1$:
$3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 3 - 4 \cos 2\alpha + (2 \cos^2 2\alpha - 1) = 2 \cos^2 2\alpha - 4 \cos 2\alpha + 2$.
Вынесем 2 за скобки и свернем по формуле квадрата разности:
$2(\cos^2 2\alpha - 2 \cos 2\alpha + 1) = 2(\cos 2\alpha - 1)^2$.
Используем формулу $\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha$, из которой следует, что $\cos 2\alpha - 1 = -2 \sin^2 \alpha$.
Числитель равен: $2(-2 \sin^2 \alpha)^2 = 2(4 \sin^4 \alpha) = 8 \sin^4 \alpha$.
Теперь преобразуем знаменатель, используя ту же формулу для $\cos 4\alpha$:
$3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 3 + 4 \cos 2\alpha + (2 \cos^2 2\alpha - 1) = 2 \cos^2 2\alpha + 4 \cos 2\alpha + 2$.
Вынесем 2 за скобки и свернем по формуле квадрата суммы:
$2(\cos^2 2\alpha + 2 \cos 2\alpha + 1) = 2(\cos 2\alpha + 1)^2$.
Используем формулу $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$, из которой следует, что $\cos 2\alpha + 1 = 2 \cos^2 \alpha$.
Знаменатель равен: $2(2 \cos^2 \alpha)^2 = 2(4 \cos^4 \alpha) = 8 \cos^4 \alpha$.
Разделим преобразованный числитель на знаменатель:
$\frac{8 \sin^4 \alpha}{8 \cos^4 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^4 \alpha} = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^4 = \text{tg}^4 \alpha$.
Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4)
Докажем тождество $\frac{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha} = \text{ctg} \, \alpha$. Преобразуем числитель и знаменатель дроби.
Преобразуем числитель, используя формулы $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ и $1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$:
$1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha = (1 + \cos 2\alpha) + \sin 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)$.
Преобразуем знаменатель, используя формулы $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ и $1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha$:
$1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha = (1 - \cos 2\alpha) + \sin 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)$.
Теперь подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)}{2 \sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}$.
Сократим дробь на общий множитель $2(\sin \alpha + \cos \alpha)$ (при условии, что он не равен нулю):
$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg} \, \alpha$.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.