Номер 516, страница 155 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

516 Пусть $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Вычислить:

1) $\sin \frac{\alpha}{2}$;

2) $\cos \frac{\alpha}{2}$;

3) $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}$;

4) $\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}$.

Дано: $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй четверти.

Сначала найдем $\cos \alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

Так как угол $\alpha$ находится во второй четверти, его косинус отрицателен: $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

Теперь определим, в какой четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$. Из условия $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ следует, что $\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$. Это первая четверть, где все тригонометрические функции ($\sin$, $\cos$, $\text{tg}$, $\text{ctg}$) положительны.

1) $\sin \frac{\alpha}{2}$;
Воспользуемся формулой половинного угла для синуса: $\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}$.
$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{9}{5}}{2} = \frac{9}{10}$.
Так как $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\sin \frac{\alpha}{2}$ положителен.
$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

2) $\cos \frac{\alpha}{2}$;
Воспользуемся формулой половинного угла для косинуса: $\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$.
$\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{1}{5}}{2} = \frac{1}{10}$.
Так как $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\cos \frac{\alpha}{2}$ положителен.
$\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{10}$.

3) $\text{tg} \frac{\alpha}{2}$;
Тангенс можно найти как отношение синуса к косинусу: $\text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}$.
$\text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{1}{\sqrt{10}}} = 3$.
Также можно использовать формулу: $\text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})}{\frac{3}{5}} = \frac{\frac{9}{5}}{\frac{3}{5}} = 3$.
Ответ: $3$.

4) $\text{ctg} \frac{\alpha}{2}$.
Котангенс - это величина, обратная тангенсу: $\text{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\text{tg} \frac{\alpha}{2}}$.
$\text{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}$.
Также можно использовать формулу: $\text{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 + (-\frac{4}{5})}{\frac{3}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.