Номер 521, страница 155 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 30. Синус, косинус и тангенс половинного угла - номер 521, страница 155.

Условие.

521 Доказать, что если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то $\sqrt{1 + \sin\alpha} - \sqrt{1 - \sin\alpha} = 2 \sin \frac{\alpha}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства тождества $\sqrt{1 + \sin\alpha} - \sqrt{1 - \sin\alpha} = 2\sin\frac{\alpha}{2}$ при условии $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, преобразуем левую часть равенства.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 = \sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}$ и формулой синуса двойного угла, из которой следует, что $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$.

Подставим эти выражения в подкоренные выражения в левой части уравнения.

Для первого слагаемого:
$1 + \sin\alpha = \sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = (\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})^2$.

Для второго слагаемого:
$1 - \sin\alpha = \sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2} - 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = (\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2})^2$.

Теперь левая часть исходного равенства приобретает вид:
$\sqrt{(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})^2} - \sqrt{(\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2})^2}$.

Поскольку $\sqrt{x^2} = |x|$, мы можем переписать выражение как:
$|\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}| - |\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}|$.

Раскроем модули, учитывая заданное условие $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$.
В интервале $(0, \frac{\pi}{4})$ и синус, и косинус положительны. Следовательно, их сумма $\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$ также положительна. Таким образом:
$|\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}| = \sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$.

Также в интервале $(0, \frac{\pi}{4})$ значение косинуса угла больше значения его синуса, то есть $\cos\frac{\alpha}{2} > \sin\frac{\alpha}{2}$. Следовательно, разность $\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}$ положительна. Таким образом:
$|\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}| = \cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}$.

Подставим раскрытые модули обратно в выражение:
$(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}) - (\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2})$.
Раскроем скобки:
$\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} = 2\sin\frac{\alpha}{2}$.

Мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.