Номер 514, страница 155 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 30. Синус, косинус и тангенс половинного угла - номер 514, страница 155.

Условие.

514 Найти числовое значение выражения:

1) $2 \cos^2 \frac{\pi}{8} - 1;$

2) $1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{12};$

3) $\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin^2 15^\circ;$

4) $-\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cos^2 15^\circ.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения значения выражения $2 \cos^2 \frac{\pi}{8} - 1$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 2 \cos^2 \alpha - 1 $.
В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{8} $.
Подставим значение $ \alpha $ в формулу:
$ 2 \cos^2 \frac{\pi}{8} - 1 = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4}) $.
Значение косинуса для угла $ \frac{\pi}{4} $ является табличным:
$ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

2) Для нахождения значения выражения $ 1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{12} $ воспользуемся другой формой формулы косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 1 - 2 \sin^2 \alpha $.
В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{12} $.
Подставим значение $ \alpha $ в формулу:
$ 1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{12} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{6}) $.
Значение косинуса для угла $ \frac{\pi}{6} $ является табличным:
$ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

3) Рассмотрим выражение $ \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin^2 15^\circ $.
Для его упрощения используем формулу понижения степени для синуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $ 2 \sin^2 \alpha = 1 - \cos(2\alpha) $.
Применим эту формулу для $ \alpha = 15^\circ $:
$ 2 \sin^2 15^\circ = 1 - \cos(2 \cdot 15^\circ) = 1 - \cos(30^\circ) $.
Мы знаем, что $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставим это значение в выражение для $ 2 \sin^2 15^\circ $:
$ 2 \sin^2 15^\circ = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$ \frac{\sqrt{3}}{2} + (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 $.
Ответ: 1

4) Рассмотрим выражение $ -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cos^2 15^\circ $.
Для его упрощения используем формулу понижения степени для косинуса, которая также является следствием формулы косинуса двойного угла: $ 2 \cos^2 \alpha = 1 + \cos(2\alpha) $.
Применим эту формулу для $ \alpha = 15^\circ $:
$ 2 \cos^2 15^\circ = 1 + \cos(2 \cdot 15^\circ) = 1 + \cos(30^\circ) $.
Мы знаем, что $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставим это значение в выражение для $ 2 \cos^2 15^\circ $:
$ 2 \cos^2 15^\circ = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$ -\frac{\sqrt{3}}{2} + (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 $.
Ответ: 1