Номер 508, страница 151 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла - номер 508, страница 151.

Условие.

508 Доказать тождество:

1) $\sin 2\alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1;$

2) $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - \sin 2\alpha;$

3) $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = \cos 2\alpha;$

4) $2 \cos^2 \alpha - \cos 2\alpha = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Докажем тождество $ \sin 2\alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1 $.
Для этого преобразуем правую часть выражения. Раскроем квадрат суммы, используя формулу $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:
$ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - 1 $
Теперь сгруппируем слагаемые и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:
$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\sin \alpha \cos \alpha - 1 = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha - 1 $
После упрощения получаем:
$ 2\sin \alpha \cos \alpha $
Согласно формуле синуса двойного угла, $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $.
Таким образом, мы преобразовали правую часть к левой: $ \sin 2\alpha = \sin 2\alpha $. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - \sin 2\alpha $.
Для этого преобразуем левую часть выражения. Раскроем квадрат разности, используя формулу $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:
$ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha $
Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:
$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha $
Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $:
$ 1 - \sin 2\alpha $
Таким образом, мы преобразовали левую часть к правой: $ 1 - \sin 2\alpha = 1 - \sin 2\alpha $. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество $ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = \cos 2\alpha $.
Преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha)^2 - (\sin^2 \alpha)^2 = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) $
Выражение во второй скобке равно единице согласно основному тригонометрическому тождеству $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $:
$ (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot 1 = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $
Выражение $ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $ является одной из формул косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha $.
Таким образом, левая часть равна правой: $ \cos 2\alpha = \cos 2\alpha $. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

4) Докажем тождество $ 2 \cos^2 \alpha - \cos 2\alpha = 1 $.
Преобразуем левую часть. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $.
Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:
$ 2 \cos^2 \alpha - (2\cos^2 \alpha - 1) $
Раскроем скобки:
$ 2 \cos^2 \alpha - 2\cos^2 \alpha + 1 $
После приведения подобных слагаемых получаем:
$ 1 $
Таким образом, левая часть равна правой: $ 1 = 1 $. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.