Номер 503, страница 151 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла - номер 503, страница 151.

Условие.

503 Вычислить $ \sin 2\alpha $, если:

1) $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;

2) $ \cos \alpha = -\frac{4}{5} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления $sin(2\alpha)$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$.
Дано, что $sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Этот промежуток соответствует второй координатной четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.
Найдем $\cos\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$
$cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$.
Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.
Так как угол $\alpha$ находится во второй четверти, значение косинуса должно быть отрицательным: $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$.
Теперь подставим известные значения в формулу синуса двойного угла:
$sin(2\alpha) = 2 \cdot sin\alpha \cdot \cos\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (-\frac{4}{5}) = -\frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{25} = -\frac{24}{25}$.
Ответ: $-\frac{24}{25}$.

2) Снова используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$.
Дано, что $cos \alpha = -\frac{4}{5}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Этот промежуток соответствует третьей координатной четверти, где и синус, и косинус отрицательны.
Найдем $\sin\alpha$ из основного тригонометрического тождества: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$
$sin^2\alpha = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$.
Отсюда $\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.
Так как угол $\alpha$ находится в третьей четверти, значение синуса должно быть отрицательным: $\sin\alpha = -\frac{3}{5}$.
Теперь подставим известные значения в формулу синуса двойного угла:
$sin(2\alpha) = 2 \cdot sin\alpha \cdot \cos\alpha = 2 \cdot (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{25} = \frac{24}{25}$.
Ответ: $\frac{24}{25}$.