Номер 504, страница 151 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла - номер 504, страница 151.

Условие.

504 Вычислить $cos 2\alpha$, если:

1) $cos \alpha = \frac{4}{5}$;

2) $sin \alpha = -\frac{3}{5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для вычисления $cos \, 2\alpha$, зная значение $cos \, \alpha$, удобно использовать формулу косинуса двойного угла, выраженную через косинус одинарного угла:

$cos \, 2\alpha = 2cos^2\alpha - 1$

Нам дано, что $cos \, \alpha = \frac{4}{5}$. Подставим это значение в формулу:

$cos \, 2\alpha = 2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 - 1$

Выполним вычисления по шагам. Сначала возведем в квадрат:

$\left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$

Теперь умножим на 2 и вычтем 1:

$cos \, 2\alpha = 2 \cdot \frac{16}{25} - 1 = \frac{32}{25} - 1$

Приведем к общему знаменателю:

$cos \, 2\alpha = \frac{32}{25} - \frac{25}{25} = \frac{32 - 25}{25} = \frac{7}{25}$

Ответ: $\frac{7}{25}$.

2)

Для вычисления $cos \, 2\alpha$, зная значение $sin \, \alpha$, удобно использовать формулу косинуса двойного угла, выраженную через синус одинарного угла:

$cos \, 2\alpha = 1 - 2sin^2\alpha$

Нам дано, что $sin \, \alpha = -\frac{3}{5}$. Подставим это значение в формулу:

$cos \, 2\alpha = 1 - 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)^2$

Выполним вычисления по шагам. Сначала возведем в квадрат (обратите внимание, что знак минус исчезнет):

$\left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$

Теперь умножим на 2 и вычтем из 1:

$cos \, 2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = 1 - \frac{18}{25}$

Приведем к общему знаменателю:

$cos \, 2\alpha = \frac{25}{25} - \frac{18}{25} = \frac{25 - 18}{25} = \frac{7}{25}$

Ответ: $\frac{7}{25}$.