Номер 506, страница 151 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла. Глава 5. Тригонометрические формулы - номер 506, страница 151.

Упростить выражение (506—507).

506 1) $2 \cos 40^\circ \cdot \cos 50^\circ$;

2) $2 \sin 25^\circ \cdot \sin 65^\circ$;

3) $\sin 2\alpha + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$;

4) $\cos 4\alpha + \sin^2 2\alpha$.

1) Для упрощения выражения $2 \cos 40^\circ \cdot \cos 50^\circ$ воспользуемся формулой приведения $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$. Заменим $\cos 50^\circ$ на $\sin(90^\circ - 50^\circ)$, что равно $\sin 40^\circ$.

Исходное выражение примет вид: $2 \cos 40^\circ \cdot \sin 40^\circ$.

Это выражение является формулой синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Применив эту формулу для $\alpha = 40^\circ$, получаем:

$2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ = \sin(2 \cdot 40^\circ) = \sin 80^\circ$.

Ответ: $\sin 80^\circ$.

2) Для упрощения выражения $2 \sin 25^\circ \cdot \sin 65^\circ$ воспользуемся формулой приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$. Заменим $\sin 65^\circ$ на $\cos(90^\circ - 65^\circ)$, что равно $\cos 25^\circ$.

Исходное выражение примет вид: $2 \sin 25^\circ \cdot \cos 25^\circ$.

Это также формула синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Применив эту формулу для $\alpha = 25^\circ$, получаем:

$2 \sin 25^\circ \cos 25^\circ = \sin(2 \cdot 25^\circ) = \sin 50^\circ$.

Ответ: $\sin 50^\circ$.

3) Рассмотрим выражение $\sin 2\alpha + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$.

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$.

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 - \sin 2\alpha$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$\sin 2\alpha + (1 - \sin 2\alpha) = \sin 2\alpha + 1 - \sin 2\alpha = 1$.

Ответ: 1.

4) Рассмотрим выражение $\cos 4\alpha + \sin^2 2\alpha$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Пусть $x = 2\alpha$, тогда $\cos 4\alpha = \cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha$.

Подставим это в исходное выражение:

$(\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha) + \sin^2 2\alpha$.

Слагаемые $-\sin^2 2\alpha$ и $\sin^2 2\alpha$ взаимно уничтожаются, и мы получаем:

$\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha = \cos^2 2\alpha$.

Ответ: $\cos^2 2\alpha$.