Номер 501, страница 150 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

501 1) $2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8}$;

2) $\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8}$;

3) $\frac{2 \tan \frac{\pi}{8}}{1 - \tan^2 \frac{\pi}{8}}$;

4) $\frac{\sqrt{2}}{2} - \left( \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8} \right)^2$.

1)

Данное выражение соответствует формуле синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$.

В нашем случае, $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Применим формулу:

$2 \sin\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{8} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным:

$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2)

Это выражение соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Здесь $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Подставим это значение в формулу:

$\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

Табличное значение косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ равно:

$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

3)

Выражение является формулой тангенса двойного угла: $\tan(2\alpha) = \frac{2 \tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$. (В условии используется обозначение tg, которое является синонимом tan).

В данном задании $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Применим формулу:

$\frac{2 \tan\frac{\pi}{8}}{1 - \tan^2\frac{\pi}{8}} = \tan\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ равно 1:

$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Ответ: $1$

4)

Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right)^2$. Сначала упростим выражение в скобках, возведя его в квадрат по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$\left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right)^2 = \cos^2\frac{\pi}{8} + 2\cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8}$.

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$\left(\cos^2\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8}\right) + 2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} = 1 + \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = 1 + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому:

$1 + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -1$.

Ответ: $-1$