Номер 501, страница 150 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Параграф 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла. Глава 5. Тригонометрические формулы - номер 501, страница 150.

Условие.

501 1) $2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8}$;

2) $\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8}$;

3) $\frac{2 \tan \frac{\pi}{8}}{1 - \tan^2 \frac{\pi}{8}}$;

4) $\frac{\sqrt{2}}{2} - \left( \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8} \right)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Данное выражение соответствует формуле синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $.

В нашем случае, $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Применим формулу:

$ 2 \sin\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{8} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $.

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным:

$ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

2)

Это выражение соответствует формуле косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.

Здесь $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Подставим это значение в формулу:

$ \cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $.

Табличное значение косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ равно:

$ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

3)

Выражение является формулой тангенса двойного угла: $ \tan(2\alpha) = \frac{2 \tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} $. (В условии используется обозначение tg, которое является синонимом tan).

В данном задании $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Применим формулу:

$ \frac{2 \tan\frac{\pi}{8}}{1 - \tan^2\frac{\pi}{8}} = \tan\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) $.

Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ равно 1:

$ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $.

Ответ: $ 1 $

4)

Рассмотрим выражение $ \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right)^2 $. Сначала упростим выражение в скобках, возведя его в квадрат по формуле квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ \left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right)^2 = \cos^2\frac{\pi}{8} + 2\cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8} $.

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ \left(\cos^2\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8}\right) + 2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} = 1 + \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = 1 + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $.

Мы знаем, что $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, поэтому:

$ 1 + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$ \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -1 $.

Ответ: $ -1 $