Номер 495, страница 148 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 28. Формулы сложения - номер 495, страница 148.

Условие.

495 Упростить выражение $\frac{\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для упрощения данного выражения можно использовать два основных подхода.

Способ 1: Использование формул приведения и преобразования суммы в произведение

Исходное выражение:

$$ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)} $$

Сначала преобразуем $ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) $ с помощью формулы приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $:

$ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \sin\left(\frac{3\pi - 2\pi}{6} - \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) $

Подставим это преобразованное выражение обратно в исходную дробь:

$$ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)} $$

Теперь воспользуемся формулами преобразования суммы и разности синусов в произведение:

$ \sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $

$ \sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $

В нашем случае $ A = \frac{\pi}{6} + \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{6} - \alpha $.

Найдём полусумму и полуразность аргументов:

$ \frac{A+B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} + \alpha) + (\frac{\pi}{6} - \alpha)}{2} = \frac{2\pi/6}{2} = \frac{\pi}{6} $

$ \frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} + \alpha) - (\frac{\pi}{6} - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $

Применим формулы к числителю и знаменателю:

Числитель: $ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin(\alpha) $.

Знаменатель: $ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos(\alpha) $.

Тогда всё выражение принимает вид:

$$ \frac{2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin(\alpha)}{2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos(\alpha)} = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \cot\left(\frac{\pi}{6}\right)\tan(\alpha) $$

Так как $ \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} $, получаем итоговый ответ:

$$ \sqrt{3}\tan(\alpha) $$

Способ 2: Использование формул сложения аргументов

Раскроем синус и косинус суммы, используя формулы:

$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $

$ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $

и табличные значения тригонометрических функций:

$ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Преобразуем каждое слагаемое в исходном выражении:

$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $

$ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $

Теперь подставим полученные выражения в числитель и знаменатель дроби.

Числитель:

$ \left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) - \left(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \sqrt{3}\sin\alpha $

Знаменатель:

$ \left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) + \left(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \cos\alpha $

В результате получаем дробь:

$$ \frac{\sqrt{3}\sin\alpha}{\cos\alpha} $$

Используя определение тангенса $ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, приходим к тому же результату:

$$ \sqrt{3}\tan\alpha $$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $ \sqrt{3}\tan\alpha $