Номер 488, страница 147 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 28. Формулы сложения - номер 488, страница 147.

Условие.

488 Вычислить $\cos (\alpha + \beta)$ и $\cos (\alpha - \beta)$, если $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$, $\frac{3}{2}\pi < \alpha < 2\pi$, и $\sin \beta = \frac{8}{17}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи нам понадобятся формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

В условии даны значения $\sin \alpha$ и $\sin \beta$. Чтобы применить формулы, нам необходимо сначала найти значения $\cos \alpha$ и $\cos \beta$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, а также учтем, в каких координатных четвертях находятся углы $\alpha$ и $\beta$.

1. Нахождение $\cos \alpha$

Нам известно, что $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Этот промежуток соответствует IV координатной четверти, в которой косинус имеет положительное значение.

Из основного тригонометрического тождества выразим $\cos \alpha$:

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

$\cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$

Так как угол $\alpha$ лежит в IV четверти, выбираем положительное значение: $\cos \alpha = \frac{4}{5}$.

2. Нахождение $\cos \beta$

Нам известно, что $\sin \beta = \frac{8}{17}$ и угол $\beta$ находится в промежутке $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$. Этот промежуток соответствует I координатной четверти, в которой косинус также имеет положительное значение.

$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$

$\cos^2 \beta = 1 - (\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289}$

$\cos \beta = \pm\sqrt{\frac{225}{289}} = \pm\frac{15}{17}$

Так как угол $\beta$ лежит в I четверти, выбираем положительное значение: $\cos \beta = \frac{15}{17}$.

Теперь, имея все четыре значения ($\sin \alpha, \cos \alpha, \sin \beta, \cos \beta$), мы можем вычислить искомые величины.

$\cos(\alpha + \beta)$

Подставляем известные значения в формулу косинуса суммы:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = (\frac{4}{5}) \cdot (\frac{15}{17}) - (-\frac{3}{5}) \cdot (\frac{8}{17}) = \frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{84}{85}$.

Ответ: $\frac{84}{85}$.

$\cos(\alpha - \beta)$

Подставляем известные значения в формулу косинуса разности:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = (\frac{4}{5}) \cdot (\frac{15}{17}) + (-\frac{3}{5}) \cdot (\frac{8}{17}) = \frac{60}{85} - \frac{24}{85} = \frac{36}{85}$.

Ответ: $\frac{36}{85}$.