Номер 498, страница 150 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла - номер 498, страница 150.

Условие.

Выразить синус, косинус или тангенс, используя формулы двойного угла (498—499).

498 1) $\sin 48^\circ$; 2) $\cos 164^\circ$; 3) $\operatorname{tg} 92^\circ$; 4) $\sin \frac{4\pi}{3}$; 5) $\cos \frac{5\pi}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Представим угол $48^\circ$ в виде двойного угла: $48^\circ = 2 \cdot 24^\circ$. Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Для $\alpha = 24^\circ$ получаем:
$\sin 48^\circ = \sin(2 \cdot 24^\circ) = 2\sin 24^\circ \cos 24^\circ$.
Ответ: $2\sin 24^\circ \cos 24^\circ$.

2) Представим угол $164^\circ$ в виде двойного угла: $164^\circ = 2 \cdot 82^\circ$. Применим формулу косинуса двойного угла. Эта формула имеет три эквивалентных вида:
$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$
$\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$
$\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$
Для $\alpha = 82^\circ$ получаем: $\cos 164^\circ = \cos^2 82^\circ - \sin^2 82^\circ$, или $\cos 164^\circ = 2\cos^2 82^\circ - 1$, или $\cos 164^\circ = 1 - 2\sin^2 82^\circ$. Любое из этих выражений является верным решением.
Ответ: $\cos^2 82^\circ - \sin^2 82^\circ$ (или $2\cos^2 82^\circ - 1$, или $1 - 2\sin^2 82^\circ$).

3) Представим угол $92^\circ$ в виде двойного угла: $92^\circ = 2 \cdot 46^\circ$. Применим формулу тангенса двойного угла $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$. Для $\alpha = 46^\circ$ получаем:
$\tan 92^\circ = \tan(2 \cdot 46^\circ) = \frac{2\tan 46^\circ}{1 - \tan^2 46^\circ}$.
Ответ: $\frac{2\tan 46^\circ}{1 - \tan^2 46^\circ}$.

4) Представим угол $\frac{4\pi}{3}$ в виде двойного угла: $\frac{4\pi}{3} = 2 \cdot \frac{2\pi}{3}$. Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Для $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ получаем:
$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin(2 \cdot \frac{2\pi}{3}) = 2\sin\frac{2\pi}{3}\cos\frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $2\sin\frac{2\pi}{3}\cos\frac{2\pi}{3}$.

5) Представим угол $\frac{5\pi}{3}$ в виде двойного угла: $\frac{5\pi}{3} = 2 \cdot \frac{5\pi}{6}$. Применим одну из формул косинуса двойного угла. Для $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ можно использовать любую из трех форм:
$\cos\frac{5\pi}{3} = \cos^2\frac{5\pi}{6} - \sin^2\frac{5\pi}{6}$
$\cos\frac{5\pi}{3} = 2\cos^2\frac{5\pi}{6} - 1$
$\cos\frac{5\pi}{3} = 1 - 2\sin^2\frac{5\pi}{6}$
Все три выражения являются верным решением.
Ответ: $\cos^2\frac{5\pi}{6} - \sin^2\frac{5\pi}{6}$ (или $2\cos^2\frac{5\pi}{6} - 1$, или $1 - 2\sin^2\frac{5\pi}{6}$).