Номер 499, страница 150 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла - номер 499, страница 150.

Условие.

499 1) $\sin \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right);$

2) $\sin \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right);$

3) $\cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right);$

4) $\cos \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right);$

5) $\sin \alpha;$

6) $\cos \alpha.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) $ воспользуемся формулой приведения. Согласно правилу, если в скобках к аргументу прибавляется или вычитается $ \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} $, то функция меняется на кофункцию (синус на косинус). Далее определяем знак исходной функции в соответствующей четверти. Угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ (при малом положительном $ \alpha $) находится во второй четверти, где синус положителен. Следовательно, знак результата будет "плюс".

Таким образом, $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha) $.

Альтернативно, можно использовать формулу синуса суммы: $ \sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) $.

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2})\cos(\alpha) + \cos(\frac{\pi}{2})\sin(\alpha) = 1 \cdot \cos(\alpha) + 0 \cdot \sin(\alpha) = \cos(\alpha) $.

Ответ: $ \cos(\alpha) $

2) Для выражения $ \sin(\frac{\pi}{4} + \beta) $ используем формулу синуса суммы: $ \sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) $.

Подставляем $ x = \frac{\pi}{4} $ и $ y = \beta $:

$ \sin(\frac{\pi}{4} + \beta) = \sin(\frac{\pi}{4})\cos(\beta) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(\beta) $.

Так как $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ \sin(\frac{\pi}{4} + \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(\beta) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(\beta) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin(\beta) + \cos(\beta)) $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin(\beta) + \cos(\beta)) $

3) Для упрощения выражения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $ воспользуемся формулой приведения. Угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ находится в первой четверти, где косинус положителен. Функция меняется на кофункцию (косинус на синус), так как опорный угол $ \frac{\pi}{2} $.

Следовательно, $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $.

Также можно применить формулу косинуса разности: $ \cos(x-y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y) $.

$ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2})\cos(\alpha) + \sin(\frac{\pi}{2})\sin(\alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) + 1 \cdot \sin(\alpha) = \sin(\alpha) $.

Ответ: $ \sin(\alpha) $

4) Для упрощения выражения $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) $ воспользуемся формулой приведения. Угол $ \frac{3\pi}{2} + \alpha $ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Функция меняется на кофункцию (косинус на синус), так как опорный угол $ \frac{3\pi}{2} $.

Следовательно, $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha) $.

Проверим с помощью формулы косинуса суммы: $ \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) $.

$ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2})\cos(\alpha) - \sin(\frac{3\pi}{2})\sin(\alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) - (-1) \cdot \sin(\alpha) = \sin(\alpha) $.

Ответ: $ \sin(\alpha) $

5) Выражение $ \sin \alpha $ является одной из основных тригонометрических функций. В данном контексте оно не требует упрощения.

Ответ: $ \sin \alpha $

6) Выражение $ \cos \alpha $ является одной из основных тригонометрических функций. В данном контексте оно не требует упрощения.

Ответ: $ \cos \alpha $